Introduction à l'Arithmétique au Brevet
L'arithmétique est un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de troisième. Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2013 pour la zone Amérique du Nord, traite d'un problème classique de répartition : le partage de dragées en sachets identiques. À travers cet énoncé, les élèves sont confrontés aux notions de diviseurs communs et, plus spécifiquement, au Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Comprendre comment diviser un ensemble d'objets (ici 760 dragées au chocolat et 1045 dragées aux amandes) sans laisser de reste est une compétence clé non seulement pour l'examen, mais aussi pour la résolution de problèmes concrets de logistique et d'organisation.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Vérification de la faisabilité (Question 1)
La première question demande si Flavien peut réaliser 76 sachets. Pour qu'une telle répartition soit possible, il faut que le nombre de sachets soit un diviseur commun aux deux quantités de dragées. En mathématiques, on dit que 76 doit diviser 760 et 1045. Pour 760, le calcul est simple : $760 \div 76 = 10$. Le résultat est un entier, donc c'est possible pour les dragées au chocolat. Cependant, pour les dragées aux amandes, $1045 \div 76 \approx 13,75$. Le résultat n'est pas un nombre entier. Par conséquent, Flavien ne peut pas faire 76 sachets car il resterait des dragées aux amandes ou la répartition ne serait pas identique. Cette étape apprend à l'élève à tester une hypothèse avant de chercher une solution globale.
2. Recherche du maximum de sachets (Question 2a)
Ici, on cherche le « nombre maximal ». Ce mot-clé doit immédiatement orienter l'élève vers le calcul du PGCD. Nous cherchons le plus grand nombre qui divise à la fois 760 et 1045. Il existe deux méthodes principales enseignées en 3ème : l'algorithme des soustractions successives et l'algorithme d'Euclide (divisions successives). L'algorithme d'Euclide est souvent plus rapide :
- $1045 = 760 \times 1 + 285$
- $760 = 285 \times 2 + 190$
- $285 = 190 \times 1 + 95$
- $190 = 95 \times 2 + 0$.
Le dernier reste non nul est 95. Le PGCD de 760 et 1045 est donc 95. Flavien peut réaliser au maximum 95 sachets. Cette question évalue la maîtrise technique d'un algorithme itératif.
3. Composition des sachets (Question 2b)
Une fois le nombre de sachets déterminé, il faut calculer le contenu de chaque unité. C'est une opération de partage équitable. Pour les dragées au chocolat : $760 \div 95 = 8$. Pour les dragées aux amandes : $1045 \div 95 = 11$. Chaque sachet contiendra donc 8 dragées au chocolat et 11 dragées aux amandes. Il est crucial ici de bien préciser l'unité et le type de produit pour chaque valeur trouvée afin de répondre précisément à la question posée.
Les Pièges à Éviter
Le piège le plus fréquent est de se lancer dans le calcul du PGCD dès la première question sans lire l'énoncé. La question 1 est un test de divisibilité simple, pas une recherche de maximum. Un autre piège concerne l'interprétation du résultat : certains élèves inversent les résultats ou oublient de vérifier que le PGCD est bien un diviseur des deux nombres originaux. Enfin, attention aux erreurs de calcul dans l'algorithme d'Euclide ; une seule erreur de soustraction ou de division décalera tout le reste de l'exercice. Prenez le temps de vérifier vos multiplications de tête ou à la calculatrice.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir le maximum de points au Brevet, la clarté de la justification est primordiale. Ne vous contentez pas d'écrire le résultat. Utilisez des phrases de liaison : « Pour que Flavien puisse faire 76 sachets, il faut que 76 soit un diviseur de 760 et de 1045 ». Pour le calcul du PGCD, nommez explicitement la méthode utilisée : « J'utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD de 760 et 1045 ». Enfin, concluez toujours par une phrase réponse claire qui reprend les termes de la question : « Le nombre maximal de sachets est de 95 ». Une présentation aérée et une écriture lisible des étapes de calcul sont vos meilleures alliées pour séduire le correcteur.