Introduction aux notions fondamentales du Brevet

L'exercice 2 du sujet de Brevet 2013 (Zone Asie) est un format classique et redoutable : le Vrai/Faux avec justification. Ce type d'exercice ne se contente pas de tester vos connaissances brutes, il évalue votre capacité à démontrer une affirmation ou à trouver un contre-exemple. Les thématiques abordées ici sont les piliers du programme de troisième : l'arithmétique (PGCD), le calcul fractionnaire, les racines carrées et le calcul littéral (identités remarquables et développement).

Analyse de l'Affirmation 1 : Le PGCD et la divisibilité

La première question porte sur le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 18 et 36. L'énoncé suggère que le PGCD est 9. Pour analyser cela, il faut revenir à la définition même du PGCD. Le PGCD est le plus grand nombre entier qui divise simultanément deux nombres. Ici, nous observons une relation particulière entre 18 et 36 : $36 = 18 \times 2$. Cela signifie que 18 est un diviseur de 36. Comme tout nombre est son propre plus grand diviseur, le PGCD de 18 et 36 est nécessairement 18. L'affirmation est donc Fausse.

D'un point de vue méthodologique, l'élève peut utiliser l'algorithme d'Euclide ou la décomposition en facteurs premiers, mais la reconnaissance immédiate d'un multiple est la méthode la plus rapide et la plus élégante lors de l'examen. Attention : 9 est bien un diviseur commun, mais il n'est pas le *plus grand*.

Analyse de l'Affirmation 2 : Le double d'une fraction

La deuxième question demande de calculer le double de $\dfrac{9}{4}$. En mathématiques, calculer le "double" revient à multiplier par 2. Le calcul s'établit comme suit : $2 \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{2 \times 9}{4} = \dfrac{18}{4}$. Pour vérifier si ce résultat est égal à $\dfrac{9}{2}$, nous devons simplifier la fraction obtenue. En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (qui est 2), nous obtenons bien $\dfrac{9}{2}$. L'affirmation est donc Vraie.

Ce point teste la maîtrise de la multiplication d'un entier par une fraction. Une erreur classique consiste à multiplier le numérateur ET le dénominateur par 2, ce qui reviendrait à multiplier la fraction par 1. Rappelez-vous : $k \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{k \times a}{b}$.

Analyse de l'Affirmation 3 : Puissance et racines carrées

L'affirmation 3 propose que le carré de $3\sqrt{5}$ est égal à 15. C'est un piège classique sur les priorités opératoires et les propriétés des puissances. Calculons $(3\sqrt{5})^2$. Selon la règle $(ab)^2 = a^2 \times b^2$, nous avons : $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \times (\sqrt{5})^2$. Or, $3^2 = 9$ et $(\sqrt{5})^2 = 5$. Le calcul final est donc $9 \times 5 = 45$. Comme $45 \neq 15$, l'affirmation est Fausse.

L'erreur visée ici est d'oublier de mettre le coefficient 3 au carré. Beaucoup d'élèves font l'erreur d'écrire $3 \times 5 = 15$. La rigueur dans l'application des parenthèses est la clé de la réussite sur les radicaux.

Analyse de l'Affirmation 4 : Équivalence littérale et identités remarquables

La dernière affirmation porte sur l'égalité $(2x + 3)^2 = 9 + 2x(2x + 3)$ pour tout nombre $x$. Pour vérifier cette égalité, la méthode la plus sûre est de développer les deux membres de l'équation séparément.

D'une part, le membre de gauche est une identité remarquable de la forme $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici, $a = 2x$ et $b = 3$. Donc : $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

D'autre part, développons le membre de droite en utilisant la simple distributivité : $9 + 2x(2x + 3) = 9 + (2x \times 2x) + (2x \times 3) = 9 + 4x^2 + 6x$.

En comparant les deux expressions finales, $4x^2 + 12x + 9$ et $4x^2 + 6x + 9$, on constate qu'elles ne sont pas identiques à cause des termes en $x$ ($12x$ vs $6x$). L'affirmation est donc Fausse.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

1. **La confusion de vocabulaire** : Ne confondez pas PGCD (Plus Grand) et PPCM (Plus Petit). De même, ne confondez pas le carré et le double.
2. **Les parenthèses fantômes** : Dans le calcul $(3\sqrt{5})^2$, l'absence de parenthèses changerait tout le résultat. Soyez méticuleux.
3. **La justification incomplète** : Dire "Vrai" ou "Faux" sans calcul ou explication textuelle rapporte 0 point au Brevet. La justification est l'essence même de l'exercice.

Conseils de rédaction pour obtenir tous les points

Pour chaque question, commencez par annoncer clairement votre calcul. Si l'affirmation est fausse, un contre-exemple ou un calcul direct suffit. Si elle est vraie, une démonstration générale est nécessaire. Utilisez des connecteurs logiques tels que "D'une part... d'autre part..." pour structurer vos comparaisons d'expressions littérales. Cela montre au correcteur que votre raisonnement est structuré et rigoureux.