Introduction aux notions de Thalès et des Volumes

L'exercice 6 du Brevet de Mathématiques 2013 (Série Métropole) est un cas d'école particulièrement riche. Il combine deux piliers du programme de 3ème : la géométrie plane avec le théorème de Thalès et la géométrie dans l'espace avec le calcul de volumes de cônes de révolution. Ce problème s'inscrit dans une situation concrète : la gestion du sel dans les marais salants. L'élève doit être capable de passer d'un schéma complexe à une modélisation mathématique rigoureuse. Nous allons voir comment extraire les triangles de la configuration et comment manipuler les formules de volume pour résoudre des équations.

Analyse Question 1a : La hauteur du cône via Thalès

Dans cette première partie, l'objectif est de démontrer que la hauteur $SO$ du cône de sel est de $2,50$ mètres. Pour cela, nous devons identifier une configuration de Thalès. En observant le schéma en coupe, nous voyons deux triangles emboîtés : le petit triangle $ABC$ formé par le bâton et le grand triangle $ASO$ formé par la hauteur du cône. Les points $A, B, O$ d'une part et $A, C, S$ d'autre part sont alignés. Les droites $(BC)$ et $(SO)$ sont toutes deux perpendiculaires au sol, elles sont donc parallèles entre elles. C'est la condition sine qua non pour appliquer le théorème de Thalès.

Le calcul de la distance $AO$ est l'étape cruciale où beaucoup d'élèves se trompent. Il faut sommer les segments : $AO = AB + BE + EO$. On nous donne $AB = 3,20$ m et $BE = 2,30$ m. Comme le diamètre du cône est de $5$ m, son rayon $EO$ est de $2,50$ m. Ainsi, $AO = 3,20 + 2,30 + 2,50 = 8,00$ m. En appliquant l'égalité de Thalès : $\frac{AB}{AO} = \frac{BC}{SO}$. En remplaçant par les valeurs, on obtient $\frac{3,20}{8,00} = \frac{1}{SO}$. Par un produit en croix, $SO = \frac{8,00 \times 1}{3,20} = 2,5$ m. La démonstration est faite.

Analyse Question 1b : Calcul de volume et précision

La question demande d'appliquer la formule du volume d'un cône : $V = \frac{\pi \times R^2 \times h}{3}$. Ici, le rayon $R$ est la moitié du diamètre, soit $2,5$ m, et la hauteur $h$ est celle calculée précédemment ($2,5$ m). Le calcul donne $V = \frac{\pi \times 2,5^2 \times 2,5}{3} = \frac{15,625\pi}{3}$. À la calculatrice, on trouve environ $16,36$ m$^3$. L'énoncé demande un arrondi à l'unité près. Puisque la décimale après la virgule est $3$ (inférieure à $5$), on arrondit à $16$ m$^3$. N'oubliez jamais que l'unité est le mètre cube dans ce contexte.

Analyse Question 2 : Résolution d'une équation de volume

Ici, la démarche est inverse : on connaît le volume ($V = 1000$ m$^3$) et la hauteur maximale ($h = 6$ m), on cherche le rayon $R$. L'équation se présente ainsi : $1000 = \frac{\pi \times R^2 \times 6}{3}$. En simplifiant la fraction $\frac{6}{3}$, on obtient $1000 = 2\pi R^2$. Pour isoler $R^2$, on divise par $2\pi$ : $R^2 = \frac{1000}{2\pi} = \frac{500}{\pi}$. Enfin, $R = \sqrt{\frac{500}{\pi}} \approx 12,615$ m. L'énoncé exige un arrondi au décimètre près (un chiffre après la virgule). Le résultat final est donc $12,6$ m.

Les Pièges à éviter le jour du Brevet

Le piège principal de cet exercice réside dans la lecture du schéma. Il faut bien différencier le rayon du diamètre. Si vous utilisez $5$ m comme rayon dans la formule du volume, tout le reste de votre exercice sera faux. De plus, pour Thalès, la longueur totale $AO$ doit être calculée avec précision. Un oubli du segment du rayon dans la somme fausserait le rapport de proportionnalité. Enfin, surveillez les consignes d'arrondi : arrondir à l'unité, au dixième ou au centième n'est pas une option, c'est une partie intégrante de la note.

Conseils de rédaction pour gagner des points

Pour la question 1a, même si une démonstration complète n'est pas exigée, structurez votre réponse : 1. Citez les droites parallèles. 2. Nommez le théorème utilisé. 3. Posez l'égalité des rapports. Pour les calculs de volume, écrivez toujours la formule littérale avant de remplacer par les chiffres. Cela montre au correcteur que vous connaissez votre cours, même si vous faites une erreur de calcul par la suite.