Introduction aux notions de pourcentages et d'évolutions
L'exercice 6 du Brevet de Mathématiques 2013 (Zone Asie) porte sur une thématique omniprésente dans la vie quotidienne et dans les épreuves de fin de collège : les pourcentages. Dans cet exercice, nous analysons des données réelles issues de l'Observatoire des Usages Internet de Médiamétrie. La maîtrise des pourcentages ne se limite pas à l'application d'une règle de trois ; elle nécessite une compréhension profonde de la notion de coefficient multiplicateur, de la base de calcul et de la gestion des arrondis. Pour un élève de 3ème, cet exercice est une opportunité parfaite pour démontrer sa capacité à interpréter un texte informatif et à le traduire en modèle mathématique rigoureux. Nous allons décomposer ici les mécanismes de calcul pour transformer une valeur initiale de $28$ millions d'internautes en une projection statistique fiable pour l'année 2012.
Analyse Méthodique : Question 1 - Calculer une augmentation
La première question nous demande de calculer le nombre de cyberacheteurs au premier trimestre 2012 suite à une augmentation de $11\%$. Pour aborder ce problème, le raisonnement doit être structuré. On identifie d'abord la valeur initiale, notée $V_i = 28$ millions. Le taux d'évolution est de $+11\%$.
Deux méthodes s'offrent à l'élève :
- Méthode 1 : Le calcul en deux étapes. On calcule d'abord le montant de l'augmentation : $28 \times \frac{11}{100} = 3,08$ millions. Ensuite, on ajoute cette augmentation à la valeur de départ : $28 + 3,08 = 31,08$.
- Méthode 2 : Le coefficient multiplicateur (fortement recommandée au lycée). Augmenter une valeur de $t\%$ revient à la multiplier par $(1 + \frac{t}{100})$. Ici, le coefficient est $1 + \frac{11}{100} = 1,11$. Le calcul devient immédiat : $28 \times 1,11 = 31,08$.
Attention à la consigne de l'énoncé : "Arrondir le résultat à $0,1$ million près". Le chiffre des centièmes étant un $8$, on arrondit au dixième supérieur. On obtient donc environ $31,1$ millions de cyberacheteurs.
Analyse Méthodique : Question 2 - Les évolutions successives
La seconde partie de l'exercice introduit une notion capitale : la répétition d'une augmentation. Si le deuxième trimestre 2012 connaît également une hausse de $11\%$, l'erreur fatale serait de penser que l'augmentation totale est de $22\%$. Pourquoi ? Car la deuxième augmentation s'applique sur la nouvelle valeur ($31,08$ millions) et non sur la valeur initiale de $2011$.
Le raisonnement correct consiste à appliquer à nouveau le coefficient multiplicateur $1,11$ au résultat de la question précédente. Si l'on utilise la valeur exacte pour plus de précision : $31,08 \times 1,11 = 34,4988$. En arrondissant à $0,1$ million près comme précédemment, nous obtenons environ $34,5$ millions d'internautes.
En mathématiques, on appelle cela des évolutions successives. Le coefficient global est le produit des coefficients : $1,11 \times 1,11 = 1,2321$, ce qui correspond en réalité à une hausse totale de $23,21\%$ sur les deux trimestres, et non $22\%$. Cette subtilité est souvent testée au Brevet pour vérifier si l'élève comprend que le pourcentage s'applique à une base qui évolue dans le temps.
Les Pièges à éviter lors de l'épreuve
Travailler sur les pourcentages demande de la vigilance. Voici les erreurs les plus fréquentes relevées par les correcteurs :
- L'erreur d'addition : Comme expliqué plus haut, on n'ajoute jamais les pourcentages entre eux ($11\% + 11\% \neq 22\%$) quand ils s'appliquent de manière successive.
- L'oubli de l'unité : Dans un problème de ce type, le résultat n'est pas juste un nombre, c'est une quantité de personnes. N'oubliez pas d'écrire "millions" ou "millions d'internautes".
- La confusion sur la base : Toujours se demander "$11\%$ de quoi ?". Au premier trimestre, c'est $11\%$ de $28$. Au deuxième, c'est $11\%$ de la population déjà augmentée.
- Le mauvais arrondi : Si le chiffre après celui que vous voulez garder est $5, 6, 7, 8$ ou $9$, vous devez arrondir au supérieur. Si c'est $0, 1, 2, 3$ ou $4$, vous gardez le chiffre tel quel.
Conseils de Rédaction pour maximiser ses points
Pour obtenir tous les points à cet exercice du Brevet, la clarté est votre meilleure alliée. Commencez par citer les données de l'énoncé. Par exemple : "D'après l'énoncé, la population initiale est de $28$ millions et l'augmentation est de $11\%$."
Présentez ensuite votre calcul de manière explicite. Si vous utilisez un coefficient multiplicateur, écrivez la formule : $V_{final} = V_{initial} \times (1 + \frac{p}{100})$. Cela montre au correcteur que vous maîtrisez la théorie. Enfin, concluez toujours par une phrase de réponse complète qui reprend les termes de la question, en précisant bien que le résultat est une approximation (utilisez le symbole $\approx$). Une copie propre, aérée, avec des résultats soulignés à la règle, prédispose toujours le correcteur à une évaluation bienveillante de votre raisonnement.