Introduction aux Fondamentaux de la Géométrie au Brevet

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet de la zone Métropole 2013 est un classique de la géométrie plane. Il mobilise des compétences essentielles du cycle 4, notamment la capacité à identifier des configurations géométriques complexes à partir d'un schéma à main levée. Les notions centrales abordées ici sont le théorème de Thalès (dans sa configuration dite « papillon ») et le calcul d'aires dans un triangle rectangle. Pour réussir cette épreuve, il ne suffit pas de connaître les formules ; il faut savoir structurer un raisonnement logique, prouver le parallélisme et manipuler les rapports de proportionnalité avec précision.

Analyse Méthodique de l'Énoncé et Construction

La première étape de cet exercice consiste à décoder la figure. L'énoncé nous donne plusieurs informations cruciales : deux droites perpendiculaires à une même troisième. En mathématiques, c'est un signal fort pour invoquer une propriété de cours fondamentale. Puisque $(AC) \perp (AB)$ et $(EB) \perp (AB)$, nous pouvons immédiatement en déduire que les droites $(AC)$ et $(EB)$ sont parallèles entre elles. Cette preuve est le verrou qui permet d'ouvrir la porte du théorème de Thalès par la suite. Pour la question 1, la réalisation en vraie grandeur nécessite l'usage d'une règle graduée et d'une équerre. On commence par tracer le segment $[AB]$ de $3,2$ cm, puis les perpendiculaires aux extrémités. On place ensuite le point $C$ à $2,4$ cm de $A$. Le point $D$ se situe sur le segment $[BC]$ à $1,5$ cm de $C$. Enfin, la droite $(AD)$ permet de situer $E$ à son intersection avec la perpendiculaire passant par $B$.

Le Raisonnement : Utilisation du Théorème de Thalès

La question 2 nous demande de déterminer l'aire du triangle $ABE$. Pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, la formule est simple : $\text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Ici, dans le triangle $ABE$ rectangle en $B$, la base est $AB = 3,2$ cm et la hauteur est $EB$. Le problème est que la longueur $EB$ est inconnue. C'est ici qu'intervient le théorème de Thalès. Nous avons deux droites sécantes $(AE)$ et $(BC)$ qui se coupent en $D$. Comme nous avons prouvé que $(AC) // (EB)$, les conditions d'application de la configuration papillon sont réunies. Le rapport de proportionnalité s'écrit : $\frac{DC}{DB} = \frac{DA}{DE} = \frac{AC}{EB}$. En utilisant les valeurs connues ($DC = 1,5$ ; $DB = 2,5$ ; $AC = 2,4$), on obtient l'égalité suivante : $\frac{1,5}{2,5} = \frac{2,4}{EB}$. Par un produit en croix, on calcule $EB = \frac{2,5 \times 2,4}{1,5}$. Le calcul donne $EB = \frac{6}{1,5} = 4$ cm. La rigueur dans l'écriture de ces rapports est déterminante pour l'obtention des points.

Calcul Final et Validation de l'Aire

Maintenant que la longueur $EB$ est déterminée ($4$ cm), nous pouvons conclure le calcul de l'aire. En appliquant la formule dans le triangle $ABE$ rectangle en $B$, nous avons : $\text{Aire} = \frac{AB \times EB}{2} = \frac{3,2 \times 4}{2}$. Le résultat final est de $6,4$ cm². Il est essentiel de vérifier la cohérence du résultat : $EB$ est plus grand que $AC$, ce qui est logique puisque $DB$ ($2,5$) est plus grand que $DC$ ($1,5$). Une erreur fréquente consiste à oublier de diviser par deux ou à se tromper dans l'unité. N'oubliez jamais que l'aire s'exprime en unités de mesure carrées ($cm^2$ dans ce cas).

Les Pièges Classiques à Éviter

Le premier piège est de sauter la démonstration du parallélisme. Au Brevet, on ne peut pas utiliser Thalès simplement parce que les droites « ont l'air » parallèles. Il faut citer la propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles ». Le second piège concerne la confusion dans les rapports de Thalès. Il faut toujours partir du point d'intersection des sécantes (ici le point $D$) pour construire les rapports. Ne confondez pas le triangle du haut et celui du bas. Enfin, veillez à la précision du tracé pour la question 1, car une figure imprécise peut induire des erreurs de lecture de longueurs, même si le calcul reste la méthode de preuve souveraine.

Conseils de Rédaction pour Maximiser vos Points

Pour séduire le correcteur, structurez votre copie avec des mots de liaison : « On sait que », « Or d'après la propriété... », « Donc ». Présentez vos calculs de manière aérée. Pour le théorème de Thalès, n'oubliez pas de nommer les droites sécantes et les droites parallèles avant d'énoncer le théorème. Soulignez vos résultats finaux et assurez-vous que toutes les unités sont présentes. Une rédaction claire montre que vous maîtrisez non seulement la technique de calcul, mais aussi la logique mathématique sous-jacente. Ce type d'exercice est une occasion idéale de marquer des points précieux sur la partie géométrie, souvent redoutée par les candidats.