Introduction aux notions clés du Brevet 2013

L'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges, session 2013 à Pondichéry, commence par un exercice classique mais exigeant sous forme de Vrai/Faux. Ce type d'exercice est redoutable car il ne demande pas seulement une réponse binaire, mais une justification rigoureuse. Les thèmes abordés ici sont transversaux : le calcul numérique avec les racines carrées et les identités remarquables, l'arithmétique pure avec la notion de diviseurs, la vision dans l'espace via l'étude des polyèdres, et enfin la géométrie plane avec l'application de la réciproque du théorème de Thalès. Maîtriser ces quatre piliers est essentiel pour garantir une note d'excellence le jour de l'examen.

Analyse de l'Affirmation 1 : Identités Remarquables et Racines Carrées

La première affirmation nous demande de vérifier si l'expression $\left(\sqrt{5} - 1 \right)\left(\sqrt{5} + 1\right)$ est un nombre entier. Un élève de 3ème doit immédiatement reconnaître la troisième identité remarquable, de la forme $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Ici, en posant $a = \sqrt{5}$ et $b = 1$, le calcul devient extrêmement simple : $(\sqrt{5})^2 - 1^2$. Par définition de la racine carrée, $(\sqrt{5})^2 = 5$. Ainsi, l'expression simplifiée est $5 - 1 = 4$. Le nombre 4 appartient bien à l'ensemble des entiers naturels (noté $\mathbb{N}$). L'affirmation est donc VRAIE.

Le piège classique ici serait de tenter un développement par double distributivité. Bien que mathématiquement correct, cela augmente le risque d'erreur de signe ou de calcul sur les racines. La reconnaissance de l'identité remarquable est la méthode attendue par les correcteurs car elle démontre une aisance calculatoire et une connaissance approfondie du programme.

Analyse de l'Affirmation 2 : Arithmétique et Diviseurs d'un Nombre

L'affirmation 2 stipule que le nombre 4 n'admet que deux diviseurs. Pour valider ou infirmer cela, il faut lister systématiquement tous les entiers positifs qui divisent 4 sans laisser de reste. Les diviseurs de 4 sont : 1 (car $4 \div 1 = 4$), 2 (car $4 \div 2 = 2$) et 4 lui-même (car $4 \div 4 = 1$). Nous dénombrons donc trois diviseurs distincts : {1 ; 2 ; 4}. L'affirmation est donc FAUSSE.

Pourquoi cette question est-elle posée ? Elle teste la confusion fréquente entre les nombres pairs et les nombres premiers. Un nombre qui n'a que deux diviseurs (1 et lui-même) est appelé un nombre premier. Le nombre 4, étant divisible par 2, n'est pas premier, il est composé. Il est crucial pour un candidat de ne pas confondre 'diviseur' et 'multiple', et de bien connaître la liste des premiers petits nombres premiers pour gagner du temps.

Analyse de l'Affirmation 3 : Géométrie dans l'Espace et Comptage de Faces

Ici, on s'intéresse aux caractéristiques des solides usuels. On nous propose un cube, une pyramide à base carrée et un pavé droit. Faisons le décompte précis :
1. Le cube possède 6 faces carrées identiques.
2. La pyramide à base carrée possède une base (1 face) et quatre faces latérales triangulaires, soit un total de $1 + 4 = 5$ faces.
3. Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) possède, tout comme le cube, 6 faces rectangulaires.
En additionnant ces faces : $6 + 5 + 6 = 17$. L'affirmation est donc VRAIE.

Une erreur fréquente consiste à oublier la face de base de la pyramide ou à confondre les arêtes et les faces. Un conseil de professeur : visualisez les objets ou dessinez-les rapidement en perspective cavalière pour ne rien oublier lors du décompte.

Analyse de l'Affirmation 4 : Configuration Papillon et Théorème de Thalès

La dernière partie concerne le parallélisme des droites (AB) et (CD). Nous sommes en présence d'une configuration dite 'en papillon' avec le point O comme sommet commun. Pour vérifier si les droites sont parallèles, nous devons comparer les rapports de longueurs des segments issus du point O. On calcule séparément :
$\frac{OA}{OC} = \frac{2,8}{5} = 0,56$
$\frac{OB}{OD} = \frac{2}{3,5} \approx 0,571$
On constate que $\frac{OA}{OC} \neq \frac{OB}{OD}$. D'après la contraposée du théorème de Thalès, si les rapports ne sont pas égaux, alors les droites ne sont pas parallèles. L'affirmation est donc FAUSSE.

Attention à la rédaction ! Il est impératif de préciser que les points A, O, C et B, O, D sont alignés dans le même ordre, même si ici la conclusion repose sur la non-égalité des rapports.

Les Pièges et Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour réussir ce type d'exercice, la clarté est votre meilleure alliée. Utilisez des connecteurs logiques comme 'Or', 'On sait que', 'Donc'. Pour le calcul numérique, ne sautez pas d'étapes. Pour l'arithmétique, soyez exhaustif dans vos listes de diviseurs. Pour Thalès, faites extrêmement attention à l'ordre des lettres dans vos fractions : commencez toujours par le sommet commun (ici le point O). Enfin, n'oubliez jamais de conclure explicitement par 'L'affirmation est donc vraie' ou 'L'affirmation est donc fausse' après avoir fourni votre preuve.