Introduction aux notions d'Arithmétique du Brevet
L'arithmétique est un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de troisième. Cet exercice du sujet de Polynésie 2013 illustre parfaitement comment les concepts de diviseurs et de PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) s'appliquent à des situations concrètes de la vie courante. Ici, nous traitons d'un problème de gestion de stocks dans une ferme aquacole, un cas typique où la répartition équitable de ressources nécessite une maîtrise des outils mathématiques. Comprendre l'arithmétique, c'est avant tout comprendre comment diviser des nombres entiers sans reste, une compétence essentielle pour optimiser des lots ou des distributions.
Analyse Méthodique de la Question 1 : Le calcul du PGCD
La première étape de l'exercice consiste à calculer le PGCD de $405$ et $315$. Pour rappel, le PGCD est le plus grand entier naturel qui divise simultanément deux nombres. Plusieurs méthodes sont à la disposition de l'élève : la liste des diviseurs, la décomposition en produits de facteurs premiers ou l'algorithme d'Euclide (méthode des divisions successives).
Utilisons l'algorithme d'Euclide, qui est souvent la méthode la plus rapide pour les grands nombres :
1. On divise $405$ par $315$ : $405 = 315 \times 1 + 90$. Le reste est $90$.
2. On divise ensuite $315$ par le reste précédent ($90$) : $315 = 90 \times 3 + 45$. Le reste est $45$.
3. On divise enfin $90$ par $45$ : $90 = 45 \times 2 + 0$. Le reste est nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul. On conclut donc que $PGCD(405~;~315) = 45$. Cette étape purement technique est cruciale car elle prépare la résolution de la suite du problème.
Analyse Méthodique de la Question 2 : Modélisation et Résolution
La seconde partie de l'exercice nous demande de passer de l'énoncé textuel à une modélisation mathématique. Il faut d'abord déterminer les quantités totales de bénitiers.
Pour les bénitiers de $12,5$~cm : nous avons $9$ bacs de $35$ individus, soit $9 \times 35 = 315$ spécimens.
Pour les bénitiers de $17,5$~cm : nous avons $15$ bacs de $27$ individus, soit $15 \times 27 = 405$ spécimens.
On remarque immédiatement que ces deux nombres correspondent à ceux étudiés à la question 1. L'exploitant souhaite réaliser des lots identiques. En mathématiques, cela signifie que le nombre de lots doit être un diviseur commun à $315$ et $405$. Pour obtenir le *plus grand* nombre de lots possible, il faut chercher le Plus Grand Commun Diviseur.
Réponse 2.a : Le plus grand nombre de lots est donc égal au PGCD de $405$ et $315$. D'après nos calculs précédents, l'exploitant pourra réaliser $45$ lots.
Réponse 2.b : Pour trouver la composition de chaque lot, il suffit de diviser la quantité totale de chaque type de bénitier par le nombre de lots :
- Nombre de bénitiers de $12,5$~cm : $315 / 45 = 7$.
- Nombre de bénitiers de $17,5$~cm : $405 / 45 = 9$.
Chaque lot sera donc composé de $7$ petits bénitiers et de $9$ grands.
Les Pièges à éviter en Arithmétique
Le piège principal dans ce type d'exercice réside dans l'oubli de la phase préliminaire de calcul des totaux. Certains élèves tentent de calculer le PGCD de $9$ et $15$ ou de $35$ et $27$, ce qui n'a aucun sens par rapport à la répartition globale demandée. Un autre piège fréquent est de ne pas justifier pourquoi on utilise le PGCD. Sur la copie, il est impératif d'écrire que l'on cherche un diviseur commun pour que les lots soient identiques, et que l'on cherche le PGCD pour maximiser le nombre de lots. Enfin, attention aux erreurs de calcul dans l'algorithme d'Euclide ; une petite erreur sur un reste fausse l'intégralité de l'exercice.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, soignez votre rédaction :
1. Annoncez clairement la méthode utilisée (ex: 'J'utilise l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD').
2. Présentez vos divisions sous forme d'égalités ($a = bq + r$).
3. Pour le problème concret, faites une phrase de conclusion pour chaque sous-question en reprenant les termes de l'énoncé ('L'exploitant pourra réaliser 45 lots de même composition').
4. N'oubliez pas de préciser l'unité si nécessaire (ici, ce sont des 'lots' et des 'bénitiers'). Une copie claire et structurée rassure le correcteur sur votre maîtrise du raisonnement logique.