Introduction aux notions de Proportionnalité et Grandeurs

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2013 pour la zone Asie, est un support pédagogique idéal pour réviser la proportionnalité et la gestion des grandeurs composées. Les élèves de troisième y sont confrontés à deux situations de la vie courante : la gestion budgétaire municipale et la gestion environnementale des déchets. La maîtrise de ces concepts est fondamentale car ils représentent une part significative des points lors de l'épreuve de mathématiques. L'objectif ici est de manipuler des données chiffrées (habitants, euros, tonnes) pour extraire des indicateurs de performance ou de coût. La proportionnalité ne se limite pas aux tableaux de produits en croix ; elle s'applique ici dans un contexte de flux annuel et quotidien, nécessitant une attention particulière aux conversions d'unités temporelles et de masse.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Question 1 : Calcul du budget annuel de traitement des poubelles

Dans cette première partie, l'énoncé nous donne trois informations clés : le nombre d'habitants ($\np{50000}$), le coût unitaire mensuel ($10$ euros) et l'unité de temps (par mois). L'objectif est de trouver le budget total sur une année. Le raisonnement doit être décomposé pour éviter les erreurs de lecture. D'abord, on calcule le coût pour l'ensemble de la population sur un seul mois : $50\,000 \times 10 = 500\,000$ euros. Ensuite, la question portant sur une année, il est impératif de multiplier ce résultat par $12$, puisqu'une année civile compte $12$ mois. Le calcul final est donc : $500\,000 \times 12 = 6\,000\,000$. Ce type de calcul vérifie la capacité de l'élève à identifier des facteurs multiplicatifs successifs. Une erreur classique consiste à oublier la conversion mois/année ou à se tromper dans le nombre de zéros.

Question 2 : Production de déchets par habitant et par jour

La seconde question est plus complexe car elle fait intervenir des changements d'unités et des ordres de grandeur élevés (millions). On nous indique que $65$ millions d'habitants produisent $30$ millions de tonnes de déchets. La question pose une hypothèse : un habitant produit-il plus de $1$ kg par jour ? Pour répondre, plusieurs méthodes sont possibles. La plus rigoureuse consiste à calculer la production annuelle d'un seul habitant en tonnes, puis en kilogrammes. On divise $30\,000\,000$ de tonnes par $65\,000\,000$ d'habitants, ce qui revient à $\frac{30}{65} \approx 0,4615$ tonne par habitant et par an. En convertissant en kg ($1$ tonne = $\np{1000}$ kg), on obtient environ $461,5$ kg par an. Enfin, pour ramener cela à une échelle journalière, on divise par $365$ jours : $461,5 / 365 \approx 1,26$ kg. Le résultat étant supérieur à $1$, l'affirmation est vraie. Ce passage nécessite une excellente maîtrise des puissances de dix ou, à défaut, une grande vigilance sur la simplification des fractions (on peut supprimer les 'millions' directement).

Les Pièges à éviter en Proportionnalité

Le premier piège de cet exercice réside dans les unités de temps. Beaucoup d'élèves confondent les calculs mensuels et annuels. Il est crucial de surligner les mots 'par mois' et 'par année' dès la lecture de l'énoncé. Le second piège concerne la conversion des unités de masse. Passer des tonnes aux kilogrammes est une étape indispensable pour comparer le résultat au seuil de '$1$ kg' mentionné dans la question 2. Enfin, attention aux arrondis. Si vous arrondissez trop tôt dans vos calculs (par exemple $\frac{30}{65} \approx 0,4$), votre résultat final pourrait être faussé. Gardez toujours au moins trois chiffres significatifs lors de vos calculs intermédiaires pour garantir la précision de votre conclusion.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, la rédaction doit être structurée. Commencez chaque réponse par citer les données de l'énoncé : 'On sait que la ville compte $\np{50000}$ habitants...'. Utilisez des connecteurs logiques tels que 'Donc', 'Par conséquent' ou 'Ainsi'. Pour la question 2, une phrase de conclusion est obligatoire : 'Puisque $1,26 > 1$, il est vrai qu'un habitant produisait un peu plus d'un kilogramme de déchet par jour en 2009'. N'oubliez pas d'indiquer les unités dans vos résultats finaux (euros, kg, etc.) et de souligner votre réponse pour faciliter la correction par l'examinateur. Une copie claire et aérée témoigne d'un raisonnement mathématique solide.