Introduction aux notions de géométrie plane du Brevet

L'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges, et particulièrement la session 2013 en Nouvelle-Calédonie, met l'accent sur la capacité des élèves à mobiliser des connaissances fondamentales en géométrie plane. Cet exercice 4 est un classique du genre, mêlant la reconnaissance de figures particulières, l'utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore et le calcul de longueurs dans un triangle rectangle. Ces compétences sont essentielles pour tout élève de troisième souhaitant obtenir une mention. L'objectif ici est de démontrer que vous maîtrisez non seulement les formules, mais aussi la rigueur de la rédaction mathématique, un critère de notation crucial pour les correcteurs du DNB.

Analyse Méthodique : Question 1 - La nature du triangle ABC

La première étape consiste à déterminer la nature du triangle ABC. Dans l'énoncé, nous disposons des mesures des trois côtés : $AB = 4$, $BC = 3$ et $AC = 5$. Face à un triangle dont on connaît toutes les dimensions, le premier réflexe doit être de tester l'égalité de Pythagore pour vérifier s'il est rectangle. On identifie le côté le plus long, ici $[AC]$, qui mesure 5 unités. Calculons le carré de sa longueur : $AC^2 = 5^2 = 25$. D'un autre côté, calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. Nous constatons avec précision que $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Le raisonnement doit alors s'appuyer sur la réciproque du théorème de Pythagore : puisque le carré de l'hypoténuse potentielle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle ABC est rectangle en B. Cette conclusion est fondamentale car elle va débloquer la suite de l'exercice, notamment pour les propriétés d'angularité.

Analyse Méthodique : Question 2 - En déduire la nature du triangle BDE

La question 2 demande d'utiliser le résultat précédent. C'est ce qu'on appelle une déduction logique. On sait que les points A, B et E sont alignés sur une même droite. Puisque le triangle ABC est rectangle en B, cela signifie que la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AB). Par extension, si (BC) est perpendiculaire à (AB), elle est également perpendiculaire à toute la droite (AE). Or, les points D, B et C sont également liés par une relation de milieu. Même si le dessin peut prêter à confusion, la propriété de perpendicularité en B se propage au triangle BDE. Puisque l'angle $\widehat{ABC}$ est un angle droit ($90^{\circ}$) et que les droites sont perpendiculaires, l'angle adjacent ou opposé par le sommet $\widehat{DBE}$ (selon la configuration des points) sera également de $90^{\circ}$. Par conséquent, le triangle BDE est un triangle rectangle en B. Cette étape montre l'importance de l'analyse des angles et de l'alignement des points dans un problème de géométrie plane.

Analyse Méthodique : Question 3 - Calcul de la longueur ED

Pour calculer ED, nous nous plaçons désormais dans le triangle BDE que nous venons de prouver être rectangle en B. Nous connaissons la longueur $BE = 7$. Il nous manque la longueur $BD$. L'énoncé précise que C est le milieu du segment [BD]. Cela implique que $BD = 2 \times BC$. Comme $BC = 3$, nous en déduisons que $BD = 2 \times 3 = 6$. Nous avons maintenant deux côtés du triangle rectangle BDE : $BD = 6$ et $BE = 7$. Pour trouver l'hypoténuse ED, nous appliquons le théorème de Pythagore : $ED^2 = BD^2 + BE^2$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $ED^2 = 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$. Pour obtenir ED, nous devons calculer la racine carrée de 85. À la calculatrice, $\sqrt{85} \approx 9,2195$. L'énoncé demande un arrondi au dixième, ce qui nous donne $ED \approx 9,2$.

Les Pièges à éviter lors de l'examen

Attention à plusieurs points critiques dans ce type d'exercice. Premièrement, ne confondez jamais le théorème de Pythagore (utilisé pour calculer une longueur) et sa réciproque (utilisée pour prouver qu'un triangle est rectangle). Utiliser l'un pour l'autre est une erreur de logique majeure. Deuxièmement, surveillez l'unité de mesure et l'arrondi. Si vous arrondissez au centième alors qu'on demande le dixième, vous perdrez des points bêtement. Enfin, n'oubliez pas de justifier la longueur de [BD] en mentionnant explicitement que C est le milieu de [BD] ; une valeur balancée sans explication est souvent ignorée par les correcteurs.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir le maximum de points, structurez vos réponses avec les connecteurs logiques standards : "On sait que...", "Or, d'après...", "Donc...". Pour la question 1, écrivez clairement l'égalité de Pythagore séparément avant de conclure à l'égalité. Pour la question 3, précisez bien dans quel triangle vous travaillez et pourquoi il est rectangle avant de lancer vos calculs. Une présentation aérée et des résultats soulignés facilitent le travail du correcteur et témoignent de votre sérieux.