Introduction aux notions de Fonctions et de Tableur
Cet exercice du Brevet 2013 (Série Collège) est un classique incontournable qui mobilise deux compétences majeures du programme de mathématiques de 3ème : la compréhension des fonctions numériques (affines et de degré 2) et l'utilisation d'un tableur. Dans le cadre du Diplôme National du Brevet (DNB), l'interaction entre l'algèbre et l'outil informatique est devenue un pilier de l'évaluation. Une fonction, notée ici $f$ ou $g$, est un processus qui, à un nombre donné $x$, fait correspondre un nombre unique appelé image. Le tableur, quant à lui, permet d'automatiser ces calculs sur une large plage de valeurs. Comprendre comment passer de l'expression algébrique à la cellule informatique est essentiel pour réussir cette épreuve.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice repose sur l'analyse d'une capture d'écran de tableur. On y observe trois lignes : les antécédents ($x$) en ligne 1, les images par la fonction $f$ en ligne 2, et les images par la fonction $g$ en ligne 3.
1. Lecture directe de l'image de $-3$
Pour répondre à la première question, il ne s'agit pas d'un calcul complexe mais d'une lecture graphique du tableau de valeurs. La ligne 1 contient les valeurs de $x$. Nous cherchons la colonne où $x = -3$. On repère que c'est la colonne B (cellule B1). En descendant sur la ligne 2, qui correspond à $f(x)$, on trouve la valeur correspondante. Dans la cellule B2, on lit 22. Ainsi, l'image de $-3$ par la fonction $f$ est 22. Notez bien que la phrase de réponse doit être précise : "L'image de $-3$ par $f$ est 22" ou $f(-3) = 22$.
2. Calcul de $f(7)$ : Extension du tableau
La deuxième question demande de calculer $f(7)$. Cependant, la valeur $x=7$ n'apparaît pas dans l'extrait du tableur. Il faut donc utiliser l'expression de la fonction. L'énoncé nous donne un indice précieux dans la barre de formule du tableur : $= -5*C1+7$. Puisque la cellule C1 contient $-2$, on comprend que la structure de la fonction est $f(x) = -5x + 7$. Pour calculer l'image de 7, on remplace $x$ par 7 dans l'expression : $f(7) = -5 \times 7 + 7$. En respectant les priorités opératoires, on effectue d'abord la multiplication : $-5 \times 7 = -35$. Enfin, $-35 + 7 = -28$. Donc, $f(7) = -28$.
3. Détermination de l'expression algébrique de $f(x)$
Comme analysé précédemment, la cellule de formule indique $=-5\star\text{C}1+7$. Dans le langage du tableur, "C1" représente la variable $x$ située en haut de la colonne. En mathématiques, on remplace donc l'adresse de la cellule par la lettre $x$. L'expression de la fonction affine est donc $f(x) = -5x + 7$. C'est une fonction de la forme $ax+b$ avec $a = -5$ et $b = 7$. On dit que $f$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur est négatif.
4. Saisie de formule pour la fonction $g(x) = x^2 + 4$
La dernière question porte sur la syntaxe informatique. On sait que $g(x) = x^2 + 4$. On veut saisir une formule en B3 qui sera recopiée vers la droite. Dans un tableur, toute formule commence par le signe $=$. Pour le terme $x^2$, on utilise la cellule contenant la valeur de $x$ pour la colonne B, c'est-à-dire B1. On peut écrire soit B1*B1, soit B1^2. La formule complète à saisir en B3 est donc : =B1^2+4 ou =B1*B1+4.
Les Pièges à Éviter
Attention à ne pas confondre **image** et **antécédent**. L'image est le résultat (ligne 2 ou 3), tandis que l'antécédent est le nombre de départ (ligne 1). Une erreur fréquente consiste également à oublier le signe "=" lors de l'écriture d'une formule tableur. Sans ce signe, le logiciel affiche le texte tel quel et ne réalise aucun calcul. Enfin, lors du calcul de $f(7)$, soyez vigilants sur la gestion des nombres relatifs : l'addition d'un nombre positif à un nombre négatif nécessite de bien identifier quelle valeur a la plus grande partie numérique pour déterminer le signe final.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, soignez votre présentation. Pour la question 1, une simple phrase suffit. Pour la question 2, détaillez l'étape de substitution et le calcul. Pour la question 3, expliquez brièvement que vous tirez l'expression de la formule de la cellule C2. Pour la question 4, écrivez la formule exactement comme elle apparaîtrait à l'écran, en utilisant des majuscules pour les colonnes (B1) et en n'oubliant pas le symbole d'égalité. Un correcteur apprécie toujours de voir le lien fait entre le cours de mathématiques (fonctions) et l'outil numérique (cellules).