Introduction aux notions clés du Brevet

L'exercice 6 du sujet de Mathématiques du Brevet 2013 pour la zone Etrangers est une épreuve de synthèse particulièrement riche. Il mobilise trois piliers du programme de troisième : la prise d'initiative, le théorème de Thalès et le calcul littéral (mise en équation). Dans cet exercice, l'élève ne doit pas simplement appliquer une formule, mais construire une stratégie de résolution pour lier une configuration géométrique à une égalité algébrique. Nous allons explorer comment transformer un problème complexe en une équation simple à résoudre.

Analyse Méthodique : Du schéma à la mise en équation

La première étape consiste à bien lire l'énoncé et à extraire les données fondamentales. Nous avons un carré $BCDE$ de $6 \text{ cm}$ de côté. Cela implique plusieurs propriétés : les côtés opposés sont parallèles, donc $(BE) \parallel (CD)$, et tous les côtés mesurent $6 \text{ cm}$. Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, avec $AB = 3 \text{ cm}$. Puisque $B$ est entre $A$ et $C$, nous en déduisons que $AC = AB + BC = 3 + 6 = 9 \text{ cm}$.

Le cœur du problème réside dans la droite $(AF)$ qui coupe $[BE]$ en $M$. Les triangles $ABM$ et $ACF$ sont dans une configuration de Thalès. Pourquoi ? Parce que le segment $[BM]$ est porté par la droite $(BE)$ et le segment $[CF]$ est porté par la droite $(CD)$. Comme $(BE) \parallel (CD)$, alors $(BM) \parallel (CF)$. En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles $ABM$ et $ACF$ de sommet commun $A$, nous obtenons l'égalité suivante : $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AF} = \frac{BM}{CF}$.

Utilisation du Calcul Littéral pour résoudre le problème

Le but est de trouver $CF$ pour que $BM = FD$. Posons $x$ la longueur $CF$ que nous recherchons. Puisque $F$ appartient au segment $[CD]$ qui mesure $6 \text{ cm}$, nous pouvons exprimer la longueur $FD$ en fonction de $x$ : $FD = 6 - x$.

Reprenons notre égalité de Thalès : $\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CF}$. En remplaçant par les valeurs connues, nous avons : $\frac{3}{9} = \frac{BM}{x}$. La fraction $\frac{3}{9}$ se simplifie en $\frac{1}{3}$. Nous obtenons donc $BM = \frac{1}{3}x$.

La condition imposée par l'énoncé est $BM = FD$. Cela nous amène à l'équation suivante : $\frac{1}{3}x = 6 - x$. C'est ici que le calcul littéral intervient. Pour résoudre cette équation, nous regroupons les termes en $x$ : $\frac{1}{3}x + x = 6$, ce qui donne $\frac{1}{3}x + \frac{3}{3}x = 6$, soit $\frac{4}{3}x = 6$. En multipliant par l'inverse, $x = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$. La longueur $CF$ doit donc être de $4,5 \text{ cm}$.

Les Pièges à éviter

Le piège principal dans ce type d'exercice de géométrie est l'erreur sur la longueur du segment $AC$. Beaucoup d'élèves utilisent $BC = 6 \text{ cm}$ au lieu de $AC = 9 \text{ cm}$. Il est crucial de bien repérer le sommet commun de la configuration de Thalès. Un autre piège réside dans la confusion entre $CF$ et $FD$. Si vous posez $x = FD$, votre équation sera différente, mais le résultat final pour $CF$ doit rester identique. Enfin, n'oubliez pas que toute trace de recherche est valorisée : si vous n'arrivez pas à l'équation finale, dessiner une figure à l'échelle pour trouver la solution par construction peut vous rapporter des points précieux.

Conseils de Rédaction pour maximiser vos points

Pour convaincre le correcteur, structurez votre réponse en trois temps. 1. Justifiez le parallélisme : précisez que $BCDE$ est un carré pour affirmer que $(BE) \parallel (CD)$. 2. Citez le théorème : 'D'après le théorème de Thalès dans les triangles $ABM$ et $ACF$...'. 3. Détaillez la résolution : montrez l'étape de la mise en équation. Une réponse bien présentée avec des unités (en $\text{cm}$) est l'assurance d'obtenir la note maximale sur cet exercice de prise d'initiative.