Introduction aux notions de fonctions au Brevet
L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet de Polynésie 2013 est un classique incontournable portant sur l'étude des fonctions par le biais de la lecture graphique. En classe de troisième, la maîtrise des fonctions est l'un des piliers fondamentaux pour réussir l'épreuve de mathématiques. Cet exercice ne demande pas de calculs algébriques complexes, mais sollicite votre capacité à interpréter visuellement une courbe représentative. Comprendre le lien entre l'axe des abscisses (les antécédents, notés $x$) et l'axe des ordonnées (les images, notées $f(x)$) est la clé pour débloquer tous les points de cet exercice. Nous allons décomposer chaque question pour comprendre le raisonnement mathématique attendu par les correcteurs.
Analyse méthodique pas à pas
L'énoncé nous présente une courbe représentant une fonction $f$ dans un repère orthogonal. La première consigne est cruciale : 'En laissant apparaître les tracés utiles sur le graphique'. Cela signifie que le correcteur attend de voir des traits pointillés reliant les axes à la courbe.
1. Détermination d'une valeur approchée de l'image
La question nous demande de trouver $f(2)$. Ici, 2 est l'antécédent. Pour répondre à cette question, vous devez vous placer sur l'axe horizontal (l'axe des $x$) à la graduation 2. Ensuite, montez verticalement jusqu'à rencontrer la courbe bleue. Une fois le point d'intersection trouvé, déplacez-vous horizontalement vers la gauche pour lire la valeur sur l'axe vertical (l'axe des $y$). En observant attentivement la grille orange, on remarque que la courbe passe légèrement au-dessus d'une graduation précise. Une lecture attentive suggère une valeur proche de 6,3 ou 6,4. La précision est de mise, d'où le terme 'valeur approchée'.
2. Recherche des antécédents
Trouver l'antécédent (ou les antécédents) de 5 signifie que l'on connaît l'image ($y = 5$) et que l'on cherche les valeurs de $x$ correspondantes. Placez-vous à la graduation 5 sur l'axe des ordonnées (vertical). Tracez une ligne horizontale traversant tout le graphique. Vous constaterez que cette ligne coupe la courbe de la fonction $f$ à deux endroits distincts. C'est un point fondamental : une image peut avoir plusieurs antécédents ! Descendez verticalement de ces deux points vers l'axe des abscisses. Les valeurs lues sur l'axe des $x$ constituent vos réponses. Graphiquement, on identifie des valeurs proches de $x \approx 4$ et $x \approx 8,5$.
3. Identification du minimum (Le point S)
La question 3 demande de placer le point S ayant la 'plus petite ordonnée'. En langage mathématique, on cherche le minimum de la fonction sur l'intervalle donné $[0 ; 10]$. Visuellement, il s'agit du point le plus bas de la courbe, là où la 'cuvette' atteint son sommet inversé. Ce point se situe environ au milieu de la courbe. Placez une croix et nommez-la S. Ce point est le sommet de la parabole inversée représentée ici.
4. Lecture des coordonnées du point S
Une fois le point S placé, il faut en donner les coordonnées sous la forme $(x ; y)$. En projetant S sur l'axe des abscisses, on trouve une valeur proche de $x = 6,25$. En projetant S sur l'axe des ordonnées, on trouve une valeur située vers $y = 4,8$. Ces coordonnées représentent le point d'inflexion où la fonction cesse de décroître pour commencer sa phase de croissance.
Les pièges classiques à éviter
Le premier piège est l'inversion des axes. Rappelez-vous toujours : l'antécédent $x$ est 'en bas' (horizontal) et l'image $f(x)$ est 'en haut' (vertical). Une astuce simple : l'ordre alphabétique ! 'A' comme Abscisse vient avant 'O' comme Ordonnée, tout comme 'x' vient avant 'y'. Un autre piège fréquent est d'oublier de tracer les pointillés sur le sujet. Même si votre réponse est juste, le correcteur peut vous retirer des points si les tracés ne sont pas visibles, car ils prouvent votre méthode. Enfin, attention aux unités du repère : vérifiez toujours si un carreau correspond à 1 unité ou à une autre valeur avant de commencer vos lectures.
Conseils de rédaction pour l'épreuve
Pour maximiser vos points, utilisez des phrases types bien structurées. Au lieu de donner juste un chiffre, écrivez : 'Par lecture graphique, l'image de 2 par la fonction $f$ est environ 6,3'. Pour les antécédents, précisez bien qu'il y en a deux : 'Les antécédents de 5 par la fonction $f$ sont approximativement 4 et 8,5'. Concernant les coordonnées du point S, utilisez la notation parenthésée standard $S(6,25 ; 4,8)$. Une copie propre, avec des tracés à la règle et au crayon à papier sur le graphique, fera toujours une excellente impression sur le jury.