Introduction aux Fonctions et à la Lecture Graphique

L'exercice 1 du sujet de Mathématiques du Brevet 2013 de la zone Métropole porte sur une notion fondamentale du programme de 3ème : les fonctions. À travers l'étude de la concentration d'un principe actif dans le sang, l'élève est amené à traduire une situation réelle en langage mathématique. Cet exercice mobilise principalement des compétences de lecture graphique, sans nécessiter de calculs algébriques complexes, ce qui en fait un excellent entraînement pour acquérir des points rapidement tout en démontrant une bonne compréhension du concept de dépendance entre deux grandeurs.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'étude repose sur une courbe représentant la fonction \( f(t) \), où \( t \) est le temps écoulé en heures (en abscisse) et \( f(t) \) est la quantité de médicament en mg/L (en ordonnée). Pour réussir cet exercice, il faut impérativement maîtriser le repérage dans le plan.

Question 1 : Détermination du Maximum

La question demande d'identifier le moment où la quantité de principe actif est maximale. Mathématiquement, cela revient à chercher l'abscisse du point le plus haut de la courbe. En observant le graphique, on repère le sommet de la 'bosse'. On projette verticalement ce point sur l'axe des abscisses (axe horizontal). Le sommet se situe au point d'abscisse 1. Par conséquent, la quantité de principe actif est maximale au bout de 1 heure.

Question 2 : Image d'une Valeur et Conversion de Temps

On nous demande la quantité au bout de 2 h 30 min. Le piège ici est la conversion. L'axe des abscisses est gradué en heures décimales. Il faut savoir que 30 minutes correspondent à une demi-heure, soit 0,5 heure. On cherche donc l'image de 2,5 par la fonction. Sur l'axe horizontal, on se place à 2,5. On monte verticalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on projette horizontalement vers l'axe des ordonnées. On lit une valeur située au milieu entre 10 et 20 sur les graduations principales, plus précisément à 15. La réponse est donc 15 mg/L.

Question 3 : Résolution Graphique d'Inéquation

Pour que le médicament soit efficace, la quantité doit être supérieure à 5 mg/L. Cela revient à résoudre l'inéquation \( f(t) > 5 \). On trace une ligne imaginaire horizontale à la hauteur 5 sur l'axe des ordonnées. On observe les points d'intersection avec la courbe : la courbe passe au-dessus de 5 à partir de \( t \approx 0,1 \) h et redescend en dessous de 5 à environ \( t = 5,1 \) h (selon la précision du tracé). L'intervalle de temps est donc environ entre 6 minutes et 5 heures et 6 minutes. La durée d'efficacité se calcule par la différence : \( 5,1 - 0,1 = 5 \) heures. Le médicament est efficace pendant environ 5 heures.

Les Pièges à Éviter au Brevet

Le premier piège est l'unité de temps. Ne confondez jamais 2,3 heures avec 2 h 30 min. Le second piège est l'imprécision : utilisez toujours une règle pour vos projections pointillées sur le sujet afin de ne pas décaler votre lecture d'une graduation. Enfin, même si aucune justification n'est demandée ici, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : une quantité de médicament ne peut pas être négative et elle doit finir par décroître vers zéro.

Conseils de Rédaction

Bien que l'énoncé précise qu'aucune justification n'est attendue, soignez la présentation de vos réponses. Utilisez des phrases complètes : 'La quantité est maximale au bout de 1 heure.' Cela montre au correcteur votre rigueur et facilite la lecture de votre copie. N'oubliez jamais les unités (mg/L, h) dans vos réponses finales, car une valeur numérique sans unité n'a pas de sens physique.