Introduction aux notions fondamentales du Brevet

Cet exercice, issu de la session 2016 du Brevet des Collèges (Zone Amérique du Sud), se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est particulièrement stratégique lors de l'examen national, car il permet de tester rapidement une large palette de compétences mathématiques : le calcul numérique avec les puissances, la compréhension des évolutions globales en pourcentages et la maîtrise des probabilités simples. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver la bonne réponse parmi les trois proposées, mais de consolider des automatismes de calcul qui seront indispensables pour la classe de Seconde.

Analyse détaillée de la Question 1 : Les Puissances

La première question porte sur le produit de deux puissances d'un même nombre : $7^6 \times 7^6$. Pour réussir ce calcul, il est impératif de se remémorer la règle fondamentale de l'arithmétique des exposants : $a^n \times a^m = a^{n+m}$. Dans ce cas précis, nous avons la même base ($7$). L'application de la règle donne donc $7^{6+6} = 7^{12}$.

Pourquoi les autres réponses sont-elles fausses ? La proposition $14^6$ est une erreur classique qui consiste à multiplier les bases entre elles tout en conservant l'exposant. Or, on ne peut multiplier les bases que si les exposants sont identiques et que l'on applique la règle $(a \times b)^n = a^n \times b^n$. La proposition $7^{36}$ résulte d'une confusion entre la multiplication des puissances ($a^n \times a^m$) et la puissance de puissance ($(a^n)^m = a^{n \times m}$). Ici, il ne fallait pas multiplier les exposants, mais bien les additionner.

Analyse détaillée de la Question 2 : Évolutions successives et Pourcentages

La deuxième question aborde les pourcentages, un thème qui pose souvent problème aux élèves de 3ème lorsqu'il s'agit d'évolutions successives. Le texte indique une augmentation de 40\% suivie d'une augmentation de 20\%. L'erreur fatale est de croire que les pourcentages s'additionnent ($40\% + 20\% = 60\%$). En mathématiques, une variation s'applique sur la valeur précédente, pas sur la valeur initiale.

La méthode la plus robuste consiste à utiliser les coefficients multiplicateurs. Une hausse de 40\% revient à multiplier par $1 + \frac{40}{100} = 1,4$. Une hausse de 20\% revient à multiplier par $1 + \frac{20}{100} = 1,2$. Pour trouver l'évolution globale, on multiplie ces deux coefficients : $1,4 \times 1,2 = 1,68$. Le coefficient final de $1,68$ correspond à une augmentation globale de 68\% (car $1,68 - 1 = 0,68$, soit $68/100$). C'est un point de méthodologie essentiel pour les problèmes économiques et financiers au lycée.

Analyse détaillée de la Question 3 : Probabilités et Diviseurs

La dernière question mélange la notion de probabilité et l'arithmétique (les diviseurs). On lance un dé équilibré à 6 faces. L'univers des possibles est $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, soit 6 issues équiprobables. L'événement étudié est : « obtenir un diviseur de 6 ».

Énumérons les diviseurs de 6 : 6 peut être divisé par 1, par 2, par 3 et par 6 lui-même. Il y a donc 4 issues favorables (1, 2, 3 et 6). La probabilité se calcule par le ratio : (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues). On obtient ainsi $\frac{4}{6}$. En simplifiant cette fraction par 2, on arrive au résultat final : $\frac{2}{3}$. La difficulté ici résidait dans l'oubli fréquent du chiffre 1 ou du chiffre 6 comme diviseurs de 6.

Pièges à éviter et Conseils de Rédaction

Dans un QCM au Brevet, même si la justification n'est pas demandée, il est fortement conseillé de réaliser ces calculs au brouillon pour éviter les erreurs d'étourderie. Attention aux unités et à la lecture de l'énoncé. Par exemple, pour les puissances, vérifiez toujours si vous manipulez une addition ($7^6 + 7^6$) ou un produit ($7^6 \times 7^6$), car les règles diffèrent totalement. Pour les probabilités, assurez-vous de bien lister toutes les issues sans en oublier. Enfin, pour les pourcentages, gardez en tête que deux hausses successives entraînent une hausse plus importante que la simple somme des deux taux, en raison de l'effet de capitalisation.

Importance de cet exercice pour l'épreuve finale

Maîtriser ces trois piliers (Arithmétique, Gestion de données, Algorithmes de calcul) assure une base solide de points. Le QCM est souvent le premier exercice du sujet : le réussir permet de se mettre en confiance pour la suite de l'épreuve, notamment pour les problèmes de géométrie ou les fonctions plus complexes qui demandent plus de temps de réflexion et de rédaction.