Introduction aux Probabilités au Brevet

Les probabilités constituent un pilier incontournable de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Cet exercice issu de la session 2016 pour la zone Amérique du Nord est une application concrète et ludique située dans le contexte d'une station de ski. Il permet de tester la capacité des élèves de 3ème à modéliser une situation aléatoire simple, puis une situation d'expériences successives (probabilités composées). Maîtriser ces notions est essentiel, car elles rapportent souvent des points faciles si la rédaction est rigoureuse et le dénombrement correct.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice est scindé en deux parties distinctes qui demandent une lecture attentive de l'énoncé pour identifier l'univers des possibles dans chaque cas.

1. Analyse de la première descente (Questions 1a et 1b)

Dans la question 1a, Guilhem se trouve en haut de la station. Il doit choisir entre 5 pistes : deux noires, deux rouges et une bleue. Puisqu'il choisit sa piste « au hasard », nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. La formule fondamentale à appliquer est : P(E) = (Nombre d'issues favorables) / (Nombre total d'issues). Ici, l'événement est « emprunter une piste rouge ». Le nombre d'issues favorables est 2 (les deux pistes rouges) et le total est 5. La probabilité est donc de 2/5, soit 0,4 ou 40%.

La question 1b change le cadre de référence. Guilhem est maintenant au restaurant d'altitude. Le dénominateur change ! Il y a désormais 7 pistes disponibles : 3 noires, 1 rouge, 1 bleue et 2 vertes. L'événement cible est « emprunter une piste bleue ». Il n'y a qu'une seule piste bleue sur les 7 disponibles. La probabilité est donc de 1/7. Il est important de laisser le résultat sous forme de fraction car 1/7 n'a pas d'écriture décimale exacte.

2. Probabilités composées : L'enchaînement (Question 2)

Cette question est la plus technique de l'exercice car elle porte sur une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes. Guilhem part du haut et va jusqu'en bas. Pour enchaîner deux pistes noires, il doit d'abord choisir une piste noire lors du premier tronçon, PUIS choisir une piste noire lors du second tronçon.

Pour le premier tronçon (Haut vers Restaurant), la probabilité de choisir une noire est de 2/5. Pour le second tronçon (Restaurant vers Bas), la probabilité de choisir une noire est de 3/7. Puisque les choix sont indépendants, la probabilité de l'intersection des deux événements est le produit des probabilités : P(Noir puis Noir) = P(Noir1) × P(Noir2). En calculant (2/5) × (3/7), on obtient 6/35. Ce raisonnement peut être visualisé à l'aide d'un arbre pondéré, même si l'énoncé ne l'impose pas, c'est une excellente méthode pour ne pas se tromper.

Les Pièges à Éviter

Le piège classique dans ce type d'exercice de probabilités au Brevet est de confondre les deux étapes. Certains élèves pourraient additionner les pistes de toutes les étapes, ce qui est une erreur grave. Il faut bien distinguer les « nœuds » de décision. Un autre piège réside dans le calcul de la question 2 : l'élève pourrait être tenté d'additionner les probabilités au lieu de les multiplier. Rappelez-vous : pour des événements qui se succèdent (le « ET » mathématique), on multiplie les probabilités.

Enfin, attention à la lecture de l'énoncé. La question 2 précise « dans les mêmes conditions que précédemment », ce qui confirme que les effectifs de pistes n'ont pas changé entre les deux descentes de Guilhem.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'écrire le résultat final. Voici la structure idéale d'une réponse :
1. Définissez l'univers (ex: « Il y a au total 5 pistes au départ »).
2. Citez la loi utilisée (souvent l'équiprobabilité).
3. Écrivez la fraction brute avant toute simplification ou conversion décimale.
4. Faites une phrase de conclusion claire (ex: « La probabilité que Guilhem enchaîne deux pistes noires est de 6/35 »).
L'utilisation d'un arbre de probabilité sur votre brouillon est vivement recommandée pour clarifier votre pensée, même si vous ne le recopiez pas sur votre copie.