Introduction aux notions de Géométrie dans l'Espace

La géométrie dans l'espace est un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Cet exercice, extrait du sujet du Brevet 2016 de Polynésie, sollicite des compétences clés : la vision spatiale, la capacité à passer de la 3D à la 2D (dessin en vraie grandeur et patron), ainsi que la maîtrise des formules de calcul de volume. Nous allons décomposer cet exercice pour comprendre comment manipuler une pyramide inscrite dans un cube.

Analyse de la Question 1 : Le passage à la vraie grandeur

La première étape consiste à tracer le triangle $IFK$ en vraie grandeur. Pour cela, il faut d'abord analyser les propriétés géométriques du cube $ABCDEFGH$. Un cube possède des faces carrées et des arêtes de même longueur. Ici, $AB = 6$ cm. On nous précise que les points $I$ et $K$ sont les milieux respectifs des arêtes $[FE]$ et $[FG]$. Par conséquent, les longueurs $FI$ et $FK$ se calculent aisément : $FI = FK = 6 / 2 = 3$ cm.

Dans un cube, les arêtes $[FE]$ et $[FG]$ sont perpendiculaires car elles appartiennent à la même face supérieure $EFGH$ qui est un carré. Le triangle $IFK$ est donc un triangle rectangle en $F$. Pour le tracer en vraie grandeur, il suffit de construire deux segments perpendiculaires de $3$ cm chacun à partir du sommet $F$. La troisième longueur, l'hypoténuse $IK$, pourrait être calculée via le théorème de Pythagore : $IK^2 = FI^2 + FK^2 = 3^2 + 3^2 = 18$, soit $IK = \sqrt{18} \approx 4,2$ cm.

Analyse de la Question 2 : Identifier le patron de la pyramide

L'identification du patron (ou schéma) d'un solide est un exercice de visualisation mentale classique. La pyramide $FIJK$ possède quatre faces :
1. La base $FIK$ qui est un triangle rectangle en $F$.
2. La face latérale $FIJ$ qui est un triangle rectangle en $F$ (puisque l'arête $[FB]$ est perpendiculaire à la face supérieure).
3. La face latérale $FJK$ qui est également un triangle rectangle en $F$.
4. La face $IJK$ (l'ouverture de la coupe).

Puisque les trois triangles rectangles se rejoignent au sommet $F$, le patron doit montrer trois triangles rectangles possédant un sommet commun et des côtés adjacents de même longueur ($3$ cm). Le Schéma 2 est celui qui correspond à cette configuration. Il respecte la perpendicularité des faces autour du sommet $F$ et permet le repliement correct des sommets pour former l'apex de la pyramide.

Analyse de la Question 3 : Calcul rigoureux du volume

Le calcul du volume d'une pyramide repose sur la formule : $V = \frac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$. Ici, nous avons toute liberté pour choisir la base. Le plus simple est de prendre le triangle $IFK$ comme base. Nous avons déjà établi qu'il s'agit d'un triangle rectangle en $F$ avec des côtés de $3$ cm.

L'aire de la base est donc : $A = \frac{FI \times FK}{2} = \frac{3 \times 3}{2} = 4,5$ cm².
La hauteur de la pyramide associée à cette base est le segment $[FJ]$. Comme $J$ est le milieu de $[FB]$, nous avons $FJ = 6 / 2 = 3$ cm. L'arête $[FJ]$ est bien perpendiculaire au plan $(IFK)$ (la face supérieure du cube), elle constitue donc une hauteur valide.

Le calcul final devient : $V = \frac{4,5 \times 3}{3} = 4,5$ cm³. Il est crucial de noter que le volume de cette petite pyramide est exactement 1/48ème du volume total du cube ($6^3 = 216$).

Les pièges à éviter lors de l'examen

1. **L'oubli des unités** : Un volume s'exprime en unités cubiques ($cm^3$ ici). Ne pas l'indiquer peut coûter des points.
2. **La confusion des bases** : Si vous choisissez $IJK$ comme base, le calcul devient complexe car il faudrait calculer l'aire d'un triangle équilatéral et trouver la hauteur issue de $F$ par rapport à ce plan incliné. Utilisez toujours les faces perpendiculaires du cube comme bases de vos calculs.
3. **Le diviseur 3** : C'est l'erreur la plus fréquente. La formule du volume de la pyramide (et du cône) comporte toujours un tiers. Ne confondez pas avec le volume d'un prisme ou d'un pavé droit.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse :
- Citez la propriété du cube (faces carrées) pour justifier les angles droits.
- Justifiez le calcul des longueurs par la définition des milieux ($I, J, K$).
- Énoncez clairement la formule du volume avant d'effectuer l'application numérique. Une copie claire avec des formules encadrées rassure le correcteur sur votre maîtrise méthodologique.