Introduction aux fondamentaux de la géométrie du Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet de 2016 pour la zone Métropole est un grand classique qui mobilise deux piliers du programme de troisième (3ème) : le Théorème de Pythagore et le Théorème de Thalès. Ces deux notions représentent souvent une part importante des points lors de l'examen final. L'objectif ici est de valider votre capacité à identifier une configuration géométrique (triangles emboîtés, perpendicularité) et à appliquer les outils mathématiques appropriés pour calculer des longueurs ou démontrer la nature d'un triangle.

Dans cet énoncé, nous travaillons sur une figure composée de points alignés et de segments sécants : le point J appartient au segment [IM] et le point K appartient au segment [IL]. Nous disposons de longueurs précises en mètres : $IK = 3,2$, $KL = 1,8$, $KJ = 2,4$ et $IJ = 4$. L'analyse méthodique de ces données est la clé de la réussite.

Analyse Méthodique : Question par Question

1. Démontrer qu'un triangle est rectangle : La Réciproque de Pythagore

Pour la première question, l'énoncé nous demande de montrer que le triangle $IKJ$ est rectangle. Ici, le réflexe immédiat doit être l'utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore. Nous connaissons les trois côtés du triangle : $IK = 3,2$, $KJ = 2,4$ et $IJ = 4$.

Le côté le plus long est $IJ$ (l'hypoténuse potentielle). Calculons séparément les carrés :
D'une part, $IJ^2 = 4^2 = 16$.
D'autre part, $IK^2 + KJ^2 = 3,2^2 + 2,4^2 = 10,24 + 5,76 = 16$.
On constate que $IJ^2 = IK^2 + KJ^2$. L'égalité de Pythagore est vérifiée. Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $IKJ$ est rectangle en K. Cela signifie que les droites $(IK)$ et $(KJ)$ sont perpendiculaires.

2. Calculer LM : L'utilisation de Thalès et des parallèles

Pour montrer que $LM$ est égal à $3,75$ m, il faut observer la configuration globale. Le triangle $IKJ$ est emboîté dans le triangle $ILM$. Cependant, pour appliquer le théorème de Thalès, il est impératif d'avoir des droites parallèles. L'énoncé ne dit pas explicitement que $(KJ)$ et $(LM)$ sont parallèles, mais la figure (codage $L$) indique que le triangle $ILM$ est rectangle en $L$.

Raisonnement : Comme $(KJ) \perp (IL)$ (démontré en Q1) et $(LM) \perp (IL)$ (donné par le codage), alors les droites $(KJ)$ et $(LM)$ sont perpendiculaires à la même droite $(IL)$. Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc $(KJ) // (LM)$.

Maintenant, appliquons Thalès dans les triangles $IKJ$ et $ILM$ :
Les points $I, K, L$ sont alignés ainsi que $I, J, M$. Les droites $(KJ)$ et $(LM)$ sont parallèles. On a l'égalité des rapports : $\frac{IK}{IL} = \frac{IJ}{IM} = \frac{KJ}{LM}$.
Calculons $IL$ : $IL = IK + KL = 3,2 + 1,8 = 5$.
En utilisant $\frac{IK}{IL} = \frac{KJ}{LM}$, on obtient : $\frac{3,2}{5} = \frac{2,4}{LM}$.
Produit en croix : $LM = \frac{5 \times 2,4}{3,2} = \frac{12}{3,2} = 3,75$. Le résultat est confirmé.

3. Calculer KM : Trigonométrie ou Al-Kashi ?

La dernière question demande de calculer $KM$ au centimètre près. Cette question est plus délicate car $KM$ n'est pas un côté des triangles rectangles de base. Pour calculer $KM$, nous pouvons nous placer dans le triangle $IKM$.
D'abord, calculons $IM$ via Thalès : $\frac{3,2}{5} = \frac{4}{IM} \Rightarrow IM = \frac{5 \times 4}{3,2} = 6,25$ m.
Nous connaissons $IK = 3,2$, $IM = 6,25$ et l'angle $\widehat{KIM}$. Dans le triangle rectangle $IKJ$, on peut calculer le cosinus de cet angle : $\cos(\widehat{KIM}) = \frac{IK}{IJ} = \frac{3,2}{4} = 0,8$.
Ensuite, on utilise le théorème d'Al-Kashi (ou une décomposition en triangles rectangles via une hauteur) dans le triangle $IKM$ : $KM^2 = IK^2 + IM^2 - 2 \times IK \times IM \times \cos(\widehat{KIM})$.
$KM^2 = 3,2^2 + 6,25^2 - 2 \times 3,2 \times 6,25 imes 0,8 = 10,24 + 39,0625 - 32 = 17,3025$.
$KM = \sqrt{17,3025} \approx 4,16$ m. Soit $416$ cm.

Les Pièges à éviter

1. Oublier de prouver le parallélisme : Ne jamais utiliser Thalès sans avoir prouvé que les droites sont parallèles. Dans ce sujet, il fallait utiliser le fait que deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
2. Les unités et arrondis : L'énoncé demande un arrondi au centimètre. Les calculs se font en mètres, il faut donc convertir ou être vigilant sur le nombre de décimales.
3. Confusion Théorème / Réciproque : Pour montrer qu'un triangle est rectangle, on utilise la réciproque. Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, on utilise le théorème.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points au Brevet :
- Citez toujours les noms des théorèmes utilisés.
- Précisez les conditions d'application (points alignés, droites parallèles).
- Encadrez vos résultats finaux.
- Soignez les calculs intermédiaires en gardant les valeurs exactes (fractions) le plus longtemps possible pour éviter les erreurs d'arrondi cumulées.