Introduction aux équations de 3ème
La mise en équation d'un problème est une compétence fondamentale évaluée au Diplôme National du Brevet. Cet exercice, extrait du sujet Etrangers 2016, mobilise des capacités d'analyse, de modélisation et de résolution de systèmes simples ou d'équations du premier degré. Apprendre à transformer un énoncé littéraire, comme ici une distribution de macarons entre Pascale, Alexis et Carole, en une égalité mathématique est le cœur du programme de mathématiques de cycle 4. Cet exercice est idéal pour comprendre comment attribuer une inconnue et structurer un raisonnement logique.
Analyse Méthodique de l'énoncé
Pour résoudre ce problème de partage, la première étape consiste à extraire les informations clés et à définir une inconnue. L'énoncé nous dit :
1. Le total : Il y a deux boîtes de 12 macarons, soit $2 \times 12 = 24$ macarons au total.
2. Pascale est la référence centrale : Alexis a mangé 4 macarons de plus qu'elle, et Carole deux fois plus.
Désignons par $x$ le nombre de macarons mangés par Pascale. C'est le choix le plus astucieux car les autres quantités en dépendent directement :
- Pascale = $x$
- Alexis = $x + 4$
- Carole = $2x$
L'équation traduisant la situation est donc la somme des parts égale au total : $x + (x + 4) + 2x = 24$. En simplifiant, nous obtenons $4x + 4 = 24$. Pour résoudre cela, on soustrait 4 des deux côtés : $4x = 20$. Enfin, on divise par 4 : $x = 5$. Pascale a donc mangé 5 macarons.
Les Pièges Classiques à éviter
Le premier piège de cet exercice réside dans la lecture de l'énoncé concernant le nombre total de macarons. Beaucoup d'élèves oublient qu'il y a deux boîtes. Lire "12 macarons" au lieu de "deux boîtes de 12" conduit immédiatement à une équation sans solution entière cohérente ou à un résultat faux ($4x + 4 = 12$ donnerait $x = 2$).
Le second piège concerne la traduction des expressions "plus que" et "deux fois moins que". Dire que Pascale en a mangé deux fois moins que Carole revient à dire que Carole en a mangé deux fois plus que Pascale. Il est souvent plus simple de multiplier pour éviter de manipuler des fractions comme $x/2$ qui alourdissent les calculs et augmentent le risque d'erreur lors de la réduction au même dénominateur.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, la rédaction doit être rigoureuse et suivre trois étapes :
1. **Choix de l'inconnue** : Indiquez clairement "Soit $x$ le nombre de macarons de Pascale".
2. **Mise en équation** : Écrivez l'équation complète avant de la résoudre.
3. **Conclusion et Vérification** : Ne vous arrêtez pas à $x=5$. Calculez les parts de chacun : Pascale (5), Alexis ($5+4=9$), Carole ($2 \times 5 = 10$). Vérifiez que $5+9+10 = 24$. Concluez par une phrase réponse claire : 'Pascale a mangé 5 macarons, Alexis 9 et Carole 10'. Une réponse sans vérification est une prise de risque inutile lors de l'examen.
Approfondissement : Pourquoi les équations ?
La maîtrise de l'algèbre est un pilier de la réussite au lycée. En 3ème, l'objectif est de passer de l'arithmétique (calculer avec des nombres) à l'algèbre (calculer avec des concepts). Cet exercice simple de 2016 est une porte d'entrée vers des problèmes plus complexes incluant des fonctions ou des résolutions graphiques. En t'entraînant sur ce type de sujet, tu développes ton esprit critique et ta capacité à modéliser le monde réel, ce qui est l'essence même des mathématiques appliquées.