Introduction aux notions de Fonctions et de Géométrie

Cet exercice issu du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges (Série Générale, Métropole 2016) est un classique incontournable qui lie deux domaines fondamentaux du programme de 3ème : la géométrie plane (aires et périmètres) et l'analyse fonctionnelle. L'objectif ici est de comprendre comment une grandeur variable — la longueur d'une ficelle — impacte directement une autre grandeur — l'aire d'une surface créée. Nous allons manipuler des notions de périmètre du carré, de périmètre du triangle équilatéral, et surtout, apprendre à interpréter des courbes représentatives de fonctions dans un repère orthogonal. Ce type de problème de 'modélisation' est très fréquent à l'examen car il permet de vérifier si l'élève sait passer d'un problème concret (une ficelle que l'on coupe) à un modèle mathématique abstrait (une fonction).

Analyse Méthodique de la Partie 1 : De la Ficelle à la Figure

Dans la première partie, nous sortons de l'abstraction pour entrer dans la manipulation concrète. On nous donne une longueur fixe pour le 'morceau n°1' : $8 \text{ cm}$. Le premier réflexe à avoir est de calculer immédiatement la longueur du second morceau. La ficelle totale mesurant $20 \text{ cm}$, le morceau n°2 mesure nécessairement $20 - 8 = 12 \text{ cm}$.

Question 1 : Dessin et construction

Pour le carré (morceau n°1 de $8 \text{ cm}$), le périmètre est de $8 \text{ cm}$. Puisqu'un carré possède quatre côtés égaux, chaque côté mesure $8 / 4 = 2 \text{ cm}$. Pour le triangle équilatéral (morceau n°2 de $12 \text{ cm}$), les trois côtés sont égaux, donc chaque côté mesure $12 / 3 = 4 \text{ cm}$. La consigne 'grandeur réelle' impose d'utiliser la règle graduée avec précision.

Question 2 : Calcul de l'aire du carré

Le calcul de l'aire d'un carré est une formule de base : $A = \text{côté} \times \text{côté}$. Avec un côté de $2 \text{ cm}$, nous obtenons $2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2$. Il est crucial de ne pas oublier l'unité de mesure, car un résultat sans unité peut entraîner une perte de points.

Question 3 : Estimation de l'aire du triangle

Ici, l'exercice demande une 'estimation' par mesure. Un triangle équilatéral de côté $4 \text{ cm}$ a une hauteur que l'on peut mesurer (environ $3,5 \text{ cm}$) ou calculer avec le théorème de Pythagore. L'aire est donnée par $(\text{base} \times \text{hauteur}) / 2$. Par la mesure, on s'attend à ce que l'élève trouve une valeur proche de $6,9 \text{ cm}^2$. Cette question prépare l'élève à comprendre que l'aire du triangle varie différemment de celle du carré.

Analyse Méthodique de la Partie 2 : Modélisation Fonctionnelle

Nous passons maintenant à l'étude des variations. Le morceau n°1 n'est plus fixe, il devient une variable $x$.

Question 1 : Expression algébrique

Si la longueur du morceau n°1 est $x$, alors le côté du carré est $x/4$. L'aire du carré en fonction de $x$ est donc : $f(x) = (x/4)^2 = x^2/16$. C'est une fonction de type carré, ce qui explique pourquoi la Courbe A est une parabole.

Question 2 : Lecture graphique (Compétence Clé)

Le graphique présente deux courbes. La Courbe A (aire du carré) est croissante : plus le morceau n°1 est long, plus le carré est grand. La Courbe B (aire du triangle) est décroissante : plus le morceau n°1 est long, moins il reste de ficelle pour le morceau n°2, et donc plus le triangle est petit.

• 2.a) Triangle d'aire 14 cm² : Pour répondre à cette question, l'élève doit repérer la valeur '14' sur l'axe des ordonnées (axe vertical). Il doit ensuite tracer une ligne horizontale jusqu'à rencontrer la Courbe B. En redescendant verticalement vers l'axe des abscisses (axe horizontal), on lit la valeur de $x$. Graphiquement, on trouve environ $x \approx 2,8 \text{ cm}$.
• 2.b) Aires égales : C'est le point d'intersection des deux courbes. À cet endroit précis, l'aire du carré est strictement identique à l'aire du triangle. En cherchant l'abscisse de ce point d'intersection, on lit environ $x \approx 9,4 \text{ cm}$. Cela signifie que si l'on coupe la ficelle à $9,4 \text{ cm}$, les deux polygones auront la même surface.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre la longueur du morceau (le périmètre) avec la longueur du côté de la figure. C'est l'erreur la plus fréquente : diviser par $4$ pour le carré et par $3$ pour le triangle est une étape intermédiaire obligatoire. Un autre piège réside dans la confusion entre les deux courbes. Avant de répondre, vérifiez toujours : 'Si mon morceau n°1 est très petit (proche de $0$), mon carré doit avoir une aire proche de $0$'. Cela confirme que la Courbe A est bien celle qui part de l'origine $(0,0)$. Enfin, veillez à la précision de la lecture graphique. Utilisez toujours une règle pour projeter les points sur les axes afin d'éviter les erreurs d' parallaxe.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas de donner le chiffre final. Pour les questions de lecture graphique, utilisez des phrases types : 'Par lecture graphique, en cherchant l'antécédent de 14 par la fonction représentée par la courbe B, on trouve environ...'. Pour les calculs, énoncez toujours la formule utilisée avant de passer à l'application numérique. Une rédaction claire montre à l'examinateur que vous avez compris la démarche logique, même si vous faites une petite erreur de calcul à la fin. N'oubliez pas de soigner vos tracés sur la copie, car la géométrie demande de la rigueur visuelle.