Introduction aux notions de probabilités et pourcentages au Brevet

Le sujet du Brevet de Mathématiques de 2016 (Métropole) propose, dès son premier exercice, une mise en situation concrète portant sur le contrôle qualité en entreprise. Cet exercice mobilise deux piliers majeurs du programme de 3ème : les probabilités et les pourcentages. L'objectif est de tester la capacité de l'élève à extraire des données d'un tableau à double entrée et à interpréter des fréquences au sein d'une population donnée. Comprendre comment passer d'un effectif brut à une probabilité est une compétence transversale essentielle pour obtenir une mention à l'examen. Dans cet exercice, nous étudions une production de composants électroniques répartie entre deux usines, A et B. La structure de l'exercice est classique mais demande une lecture attentive pour ne pas confondre l'univers de référence de chaque question.

Analyse méthodique de l'exercice 1 : Sujet Métropole 2016

L'exercice repose sur un tableau synthétisant les résultats d'un prélèvement de 1000 composants. Avant même de répondre aux questions, il est crucial de bien lire les données : l'usine A a produit 500 composants (473 bons et 27 défectueux) et l'usine B en a produit 500 également (462 bons et 38 défectueux).

Question 1 : Calcul d'une probabilité simple

La première question demande la probabilité qu'un composant soit défectueux sachant qu'il provient de l'usine A. Ici, l'univers de référence (le dénominateur) est limité à la production de l'usine A. L'élève doit repérer la colonne 'Usine A' dans le tableau. Le nombre total de composants prélevés dans cette usine est de 500. Parmi eux, 27 sont défectueux. La probabilité est donc définie par le quotient : 27 / 500. Pour une présentation optimale, il est conseillé de donner la valeur décimale : 27 / 500 = 0,054. En termes de raisonnement, on applique la formule fondamentale $P(E) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues possibles}}$. Ici, l'issue favorable est 'être défectueux' au sein du groupe 'Usine A'.

Question 2 : Probabilité conditionnelle inversée

La deuxième question est plus subtile et constitue souvent le premier piège pour les candidats. On nous demande la probabilité que le composant provienne de l'usine A, mais cette fois, le prélèvement se fait parmi ceux qui sont défectueux. L'univers de référence change : ce n'est plus l'usine, mais l'ensemble des composants défectueux. Il faut d'abord calculer le nombre total de composants défectueux : 27 (Usine A) + 38 (Usine B) = 65. Le dénominateur de notre fraction sera donc 65. Le nombre de composants provenant de l'usine A dans cet échantillon défectueux est de 27. La probabilité recherchée est donc 27 / 65. Ce résultat peut être laissé sous forme de fraction simplifiée ou arrondi au millième (environ 0,415).

Question 3 : Interprétation d'un seuil de qualité (Pourcentages)

La question finale demande de juger si le contrôle est satisfaisant. Le critère est clair : le pourcentage de composants défectueux sur l'ensemble de la production (les 1000 composants) doit être inférieur à 7%. Pour répondre, l'élève doit sommer la totalité des pièces défectueuses (déjà calculé : 65) et la diviser par l'effectif total (1000). Le calcul est simple : (65 / 1000) * 100 = 6,5%. On procède ensuite à une comparaison de valeurs : 6,5% est strictement inférieur à 7%. La conclusion rédigée doit affirmer que le contrôle est satisfaisant. C'est un excellent exemple de l'utilisation des mathématiques pour la prise de décision en entreprise.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice de 2016 est l'erreur de dénominateur. De nombreux élèves utilisent systématiquement 1000 comme dénominateur pour toutes les questions. Or, la lecture de l'énoncé est capitale : 'parmi ceux provenant de l'usine A' (500) vs 'parmi ceux qui sont défectueux' (65). Un autre piège concerne l'arrondi. Si l'énoncé ne précise rien, gardez la fraction exacte ou donnez trois chiffres après la virgule. Enfin, n'oubliez jamais de conclure par une phrase réponse claire, surtout pour la question sur le seuil de satisfaction.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour séduire le correcteur, structurez votre copie. Commencez par citer les valeurs extraites du tableau avant de faire vos calculs. Par exemple : 'Dans l'usine A, il y a 27 composants défectueux sur un total de 500'. Utilisez des notations mathématiques propres pour les probabilités (ex: P(D) pour défectueux). Pour la question sur le pourcentage, posez l'opération clairement et montrez explicitement la comparaison (6,5 < 7). Une rédaction aérée et logique garantit souvent la totalité des points sur ce type d'exercice de statistiques et probabilités.