Introduction aux configurations de Thalès au Brevet

Le Brevet de Mathématiques 2016, notamment la session Amérique du Sud, met l'accent sur l'application concrète des mathématiques dans des situations réelles. L'exercice 4 que nous étudions ici porte sur le célèbre monument du Cristo Redentor à Rio de Janeiro. Il s'agit d'une application directe du Théorème de Thalès dans une configuration dite de 'triangles emboîtés'. Cette notion est fondamentale au cycle 4 et représente souvent une part importante des points de géométrie lors de l'examen final. Comprendre comment passer d'une situation concrète (une statue, un personnage, un regard) à un modèle géométrique abstrait (points alignés, droites parallèles) est la clé de la réussite en 3ème.

Analyse Méthodique de l'Exercice : De la Réalité au Modèle

L'énoncé nous présente trois protagonistes géométriques : le monument (SC), Julien (TJ) et le point d'observation de Magali (M). Pour résoudre cet exercice, la première étape indispensable est l'identification des données numériques et leur harmonisation. Julien mesure $1,90~m$ (noté $TJ$ dans notre modèle). La distance entre Magali et la statue est de $10~m$ (notée $MC$). La distance entre Magali et Julien est de $50~cm$. Attention : c'est ici que se cache le premier piège classique. Les unités de mesure ne sont pas homogènes. Il est impératif de convertir $50~cm$ en mètres, soit $MJ = 0,5~m$.

Passons maintenant à la modélisation géométrique. Nous sommes dans le triangle $MSC$. Les points $M, J, C$ sont alignés d'une part, et les points $M, T, S$ sont alignés d'autre part. L'énoncé précise que le monument et Julien sont perpendiculaires au sol. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième (le sol), alors elles sont parallèles entre elles. Nous en déduisons que $(TJ) \parallel (SC)$. Les conditions d'application du Théorème de Thalès sont donc réunies. Selon le théorème, nous avons l'égalité des rapports suivants : $\frac{MJ}{MC} = \frac{MT}{MS} = \frac{TJ}{SC}$. Pour déterminer la hauteur $SC$, nous utiliserons l'égalité $\frac{MJ}{MC} = \frac{TJ}{SC}$.

Calcul et Résolution : Maîtriser le Produit en Croix

En remplaçant les segments par leurs valeurs numériques respectives, nous obtenons l'équation : $\frac{0,5}{10} = \frac{1,90}{SC}$. Pour isoler l'inconnue $SC$, nous appliquons la règle du produit en croix. On multiplie les termes de la diagonale connue et on divise par le troisième terme : $SC = \frac{10 \times 1,90}{0,5}$. Le calcul donne $SC = \frac{19}{0,5}$. Diviser par $0,5$ revient à multiplier par $2$, ce qui nous donne $SC = 38~m$. La statue du Cristo Redentor, socle compris, mesure donc $38$ mètres de haut. Cette valeur est cohérente avec la réalité monumentale de l'œuvre.

Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve

Pourquoi les élèves perdent-ils des points sur cet exercice ? Voici les trois erreurs fatales :
1. **L'oubli de la conversion :** Utiliser $50$ au lieu de $0,5$ conduit à une statue de $0,38~m$, ce qui est absurde pour un monument dominant Rio. Vérifiez toujours la cohérence de votre résultat final !
2. **La mauvaise identification du sommet commun :** Dans les rapports de Thalès, le sommet d'où partent les rayons (ici le point $M$ où se situe le regard de Magali) doit figurer au numérateur et au dénominateur des deux premiers rapports.
3. **L'absence de justification du parallélisme :** On ne peut pas utiliser Thalès sans prouver que les droites sont parallèles. L'argument de la perpendicularité commune au sol est ici indispensable pour obtenir le maximum de points.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour séduire le correcteur, votre rédaction doit être structurée. Commencez par lister les données et les points alignés : 'Dans le triangle $MSC$, $J$ appartient à $[MC]$ et $T$ appartient à $[MS]$'. Justifiez ensuite le parallélisme : 'Comme $(TJ)$ et $(SC)$ sont perpendiculaires à la droite $(MC)$, alors $(TJ) \parallel (SC)$'. Citez explicitement le théorème : 'D'après le Théorème de Thalès, on a...'. Présentez votre calcul clairement et n'oubliez pas de conclure par une phrase réponse incluant l'unité ($m$). Une copie propre et rigoureuse est la garantie d'une note d'excellence au Brevet des Collèges.