Introduction aux notions de fonctions et proportionnalité

L'exercice 5 du sujet de Brevet 2016 pour la zone Amérique du Nord est une étude de cas classique portant sur la comparaison de tarifs. Ce type d'exercice est fondamental car il permet de lier des situations concrètes du quotidien, comme le choix d'un forfait de ski, à des concepts mathématiques abstraits tels que les fonctions affines et linéaires. Dans cet énoncé, nous sommes confrontés à deux modèles de facturation : un tarif proportionnel au nombre de jours (Tarif 1) et un tarif composé d'un coût fixe (abonnement) augmenté d'un coût variable (Tarif 2). L'objectif pédagogique est double : maîtriser le calcul algébrique pour résoudre des inéquations de seuil et savoir interpréter avec précision des représentations graphiques.

Analyse Méthodique : Du calcul à l'interprétation

La première partie de l'exercice demande une approche calculatoire. À la question 1.a, l'élève doit comparer deux valeurs numériques simples. Pour Elliot, skier deux jours au Tarif 1 coûte $2 \times 40,5 = 81$ euros. Au Tarif 2, le calcul devient $31 + (2 \times 32) = 31 + 64 = 95$ euros. La conclusion est immédiate : le Tarif 1 est plus avantageux pour une courte durée. Cette question permet de poser les bases de la modélisation.

La question 1.b introduit la notion d'inéquation. On cherche $x$ tel que $32x + 31 < 40,5x$. En isolant les termes en $x$, on obtient $31 < 8,5x$, soit $x > 31 / 8,5$, ce qui donne environ $3,64$. Puisque le nombre de journées doit être un entier, c'est à partir de 4 jours que le Tarif 2 (la carte club) devient rentable. C'est un point de bascule crucial à identifier pour comprendre l'intérêt d'un abonnement.

Lecture Graphique : Justification et Précision

Le passage à l'analyse graphique est une étape clé du programme de 3ème. À la question 2.a, on interroge l'élève sur la proportionnalité. Mathématiquement, une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l'origine du repère $(0,0)$. En observant le graphique, seul le Tarif 1 (la droite noire) part de zéro. Le Tarif 2 commence à l'ordonnée 31, ce qui correspond au prix de la carte club (l'ordonnée à l'origine). La justification doit être rigoureuse : 'Le Tarif 1 est proportionnel car sa représentation graphique est une droite passant par l'origine'.

Pour la question 2.b, l'estimation de la différence de prix à 6 jours demande une lecture verticale. Pour $x = 6$, on lit environ $243$ € pour le Tarif 1 et $223$ € pour le Tarif 2. La différence est d'environ 20 euros. Cet exercice de lecture habitue l'élève à manipuler des échelles parfois complexes (ici, 1 cm pour 25 euros en ordonnée).

Enfin, la question 2.c sur le budget de 275 euros est une lecture 'inverse'. On part de l'axe des ordonnées (prix), on trace une horizontale à 275, et on regarde l'intersection avec la droite la plus avantageuse (le Tarif 2). On arrive à une valeur proche de 7,6 jours. Comme Elliot ne peut pas skier une fraction de journée au-delà de ses moyens, le maximum entier est de 7 jours.

Les Pièges et Points de Vigilance

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est d'oublier d'inclure le prix de la carte club dans le Tarif 2 lors des calculs rapides. Il faut toujours modéliser le tarif sous la forme d'une fonction $f(x) = ax + b$. Un autre piège réside dans la précision de la lecture graphique. Il est impératif d'utiliser une règle et de tracer des pointillés sur sa copie pour montrer au correcteur d'où vient la réponse. Enfin, ne confondez pas 'plus intéressant' avec 'plus cher' : en mathématiques financières, le tarif le plus intéressant est celui dont le montant est le plus bas.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez vos phrases de conclusion. Ne vous contentez pas d'un chiffre. Par exemple, écrivez : 'Après calcul des deux options, Elliot a intérêt à choisir le Tarif 1 pour deux jours car il économisera 14 euros'. Pour la lecture graphique, citez explicitement les points lus : 'Pour 6 jours, le point de la droite Tarif 1 a pour ordonnée 243'. Cette rigueur démontre que vous ne répondez pas au hasard mais que vous maîtrisez l'outil graphique fourni.