Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2016 (zone Amérique du Nord), est un modèle d'application concrète des mathématiques dans un contexte de gestion de station de ski. Il mobilise trois compétences majeures du programme de troisième : la gestion des grandeurs composées (vitesse et débit), le calcul de durées et l'application de la trigonométrie dans un triangle rectangle. L'objectif est de savoir extraire des informations d'un document technique pour résoudre des problèmes de la vie courante.

Analyse Question 1 : Calcul de débit et gestion du temps

La première question porte sur le calcul du nombre total de skieurs pouvant emprunter le télésiège. Pour réussir, l'élève doit d'abord déterminer la durée totale d'ouverture du télésiège. Le document indique une ouverture à 9h et une fermeture à 16h. Le calcul est simple mais crucial : $16 - 9 = 7$ heures. Une erreur fréquente consiste à mal compter l'amplitude horaire.

Ensuite, on utilise la grandeur composée 'débit'. Le débit maximum est de $\np{3000}$ skieurs par heure. Le calcul du nombre de skieurs repose sur la proportionnalité : $\text{Débit} \times \text{Temps} = \text{Nombre total}$. Soit $\np{3000} \times 7 = \np{21000}$ skieurs. Ce résultat montre l'importance de bien lire les unités : si le débit avait été donné par minute, une conversion aurait été nécessaire. Ici, les unités sont cohérentes (heures et skieurs/heure).

Analyse Question 2 : Grandeurs composées et conversion de vitesse

La deuxième question demande de calculer la durée du trajet. C'est ici que la maîtrise de la formule de la vitesse est indispensable : $v = \frac{d}{t}$, ce qui implique $t = \frac{d}{v}$. Les données fournies sont : une distance $d = \np{1453}$ m et une vitesse $v = 5,5 ~\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.

Le calcul donne $t = \frac{1453}{5,5} \approx 264,18$ secondes. La difficulté réside dans la consigne de conversion : exprimer le résultat en minutes et secondes. Pour transformer 264 secondes, on effectue une division euclidienne par 60 : $264 = 4 \times 60 + 24$. Le trajet dure donc environ 4 minutes et 24 secondes. Attention à l'arrondi initial : la consigne demande d'arrondir à la seconde près avant la conversion finale. Un oubli de cette étape peut entraîner une cascade d'erreurs de précision.

Analyse Question 3 : Trigonométrie et modélisation géométrique

La dernière partie nécessite une modélisation géométrique. On cherche l'angle formé par le câble avec l'horizontale. En schématisant la situation par un triangle rectangle, le câble représente l'hypoténuse (longueur $\np{1453}$ m). Le côté opposé à l'angle recherché correspond à la différence d'altitude entre le départ et l'arrivée.

Étape 1 : Calcul de la dénivelée (côté opposé). $\text{Altitude Arrivée} - \text{Altitude Départ} = \np{2261} - \np{1839} = 422$ mètres. Étape 2 : Choix de la formule trigonométrique. On connaît le côté opposé ($422$ m) et l'hypoténuse ($\np{1453}$ m). On utilise donc le sinus : $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$. Soit $\sin(\text{angle}) = \frac{422}{1453}$. Étape 3 : Utilisation de la calculatrice. En utilisant la touche $\arcsin$ ou $\text{inv sin}$, on obtient environ $16,88^\circ$. La consigne demande un arrondi au degré près, soit $17^\circ$.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Le principal piège de cet exercice est l'oubli de la soustraction des altitudes pour le calcul trigonométrique. Beaucoup d'élèves utilisent directement une des altitudes comme côté du triangle. Un autre point de vigilance est la conversion des secondes en minutes : ne divisez pas simplement par 100 ! Rappelez-vous qu'une minute contient 60 secondes.

Pour la rédaction, veillez à toujours citer le nom du théorème ou de la formule utilisée (ex: 'Dans le triangle rectangle formé par le trajet...'). Présentez vos calculs de manière linéaire et n'oubliez pas les unités dans vos phrases de conclusion. Un correcteur appréciera toujours de voir la formule littérale avant l'application numérique, car cela prouve que vous avez compris la méthode même en cas d'erreur de calcul.