Introduction aux notions de géométrie plane du Brevet 2016

Cet exercice issu du sujet de Polynésie 2016 est une synthèse remarquable des attentes du cycle 4. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane, notamment la maîtrise du Théorème de Pythagore, des propriétés de Thalès (via le théorème des milieux) et des bases de la trigonométrie. L'objectif ici est de vérifier la capacité de l'élève à articuler plusieurs propriétés pour démontrer des caractéristiques géométriques (parallélisme, orthogonalité) et calculer des mesures de grandeurs (angles, longueurs, rayons).

Analyse méthodique pas à pas

1. Démontrer le parallélisme : Le théorème des milieux

La première question nous demande si les droites $(IJ)$ et $(BE)$ sont parallèles. Pour y répondre, l'observation des données est cruciale : nous savons que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et que $J$ est le milieu du segment $[AE]$.
En mathématiques, une propriété spécifique du triangle, souvent appelée le théorème des milieux (cas particulier du théorème de Thalès), énonce que dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Ici, dans le triangle $ABE$, les points $I$ et $J$ remplissent exactement ces conditions. On peut donc affirmer avec certitude que $(IJ) \parallel (BE)$. La rédaction doit être rigoureuse : 'On sait que dans le triangle $ABE$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AE]$. Or, si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. Donc $(IJ) \parallel (BE)$'.

2. Prouver qu'un triangle est rectangle : La réciproque de Pythagore

La question 2 nous demande de montrer que le triangle $ABE$ est rectangle. Nous disposons des trois longueurs : $AB = 6$ cm, $AE = 8$ cm et $BE = 10$ cm. L'outil adéquat est la réciproque du théorème de Pythagore.
Calculons d'une part le carré du plus long côté (l'hypoténuse potentielle) : $BE^2 = 10^2 = 100$.
Calculons d'autre part la somme des carrés des deux autres côtés : $AB^2 + AE^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
On constate que $BE^2 = AB^2 + AE^2$. L'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle $ABE$ est rectangle en $A$. Attention à bien nommer le sommet où se trouve l'angle droit (celui opposé au plus long côté).

3. Calculer un angle : Utilisation de la trigonométrie

Maintenant que nous savons que $ABE$ est rectangle en $A$, nous pouvons utiliser les rapports trigonométriques (Cos, Sin, Tan) pour calculer la mesure de l'angle $\widehat{AEB}$. Nous connaissons le côté adjacent $AE = 8$ cm et l'hypoténuse $BE = 10$ cm.
L'utilisation du cosinus est ici la plus directe : $\cos(\widehat{AEB}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AE}{BE} = \frac{8}{10} = 0,8$.
En utilisant la calculatrice (touche $\cos^{-1}$ ou $\arccos$), on obtient $\widehat{AEB} \approx 36,869...^\circ$. L'énoncé demande une valeur approchée au degré près, soit $37^\circ$.

4. Propriétés du cercle circonscrit

La dernière partie traite du cercle $(C)$ passant par $I$, $J$ et $A$.
a) Justification du centre : Puisque $(IJ) \parallel (BE)$ et que $(AB) \perp (AE)$ (car le triangle est rectangle en $A$), alors par propriété des droites parallèles et perpendiculaires, $(AI)$ est perpendiculaire à $(AJ)$. Le triangle $AIJ$ est donc lui aussi rectangle en $A$. Or, une propriété fondamentale du cours stipule que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle se situe au milieu de son hypoténuse. Ici, l'hypoténuse est $[IJ]$, donc le centre du cercle $(C)$ est bien le milieu de $[IJ]$.
b) Calcul du rayon : D'après le théorème des milieux, la longueur $IJ$ est égale à la moitié de la base $BE$. Soit $IJ = \frac{10}{2} = 5$ cm. Le rayon du cercle étant la moitié du diamètre $IJ$, on a $R = \frac{5}{2} = 2,5$ cm.

Les pièges à éviter au Brevet

De nombreux élèves perdent des points sur des erreurs d'étourderie ou de méthodologie.
1. Confusion entre Théorème et Réciproque : Pour prouver qu'un triangle est rectangle, on utilise la *réciproque*. Pour calculer une longueur dans un triangle déjà rectangle, on utilise le *théorème* direct.
2. Unités de mesure : N'oubliez jamais d'ajouter 'cm' ou 'degré' dans votre conclusion.
3. Arrondis : Respectez strictement la consigne (au degré près, au dixième, etc.). Un mauvais arrondi est souvent sanctionné.
4. Rédaction : Ne donnez pas seulement le résultat. Les correcteurs notent le raisonnement : 'On sait que', 'Propriété', 'Conclusion'.

Conseils de rédaction pour maximiser sa note

Pour chaque question, structurez votre réponse. Commencez par citer les données de l'énoncé. Ensuite, annoncez la propriété ou le théorème que vous allez utiliser. Effectuez les calculs de manière claire et isolée. Enfin, concluez par une phrase répondant précisément à la question. Par exemple, pour la trigonométrie, précisez bien 'Dans le triangle $ABE$ rectangle en $A$...' car les formules ne s'appliquent que dans un triangle rectangle. Une copie propre avec des étapes identifiables est la clé pour obtenir les points bonus de présentation.