Introduction aux notions de Fonctions et de Calcul Littéral

L'exercice 5 du sujet de Brevet Pondichéry 2016 est un grand classique qui mêle l'étude des fonctions et la maîtrise du calcul littéral. À travers la thématique du moto-cross, cet exercice demande aux élèves de troisième de jongler entre différentes représentations d'une fonction : l'expression algébrique (la formule), le tableau de valeurs (implicitement via les calculs) et la représentation graphique. Le cœur de cet exercice repose sur deux compétences majeures : savoir développer une expression produit et savoir interpréter un graphique pour valider ou infirmer des affirmations. Ces notions sont fondamentales car elles représentent une grande partie des points lors de l'examen final.

Analyse de la Question 1 : Le développement algébrique

La première affirmation concerne le développement de $h(t) = (-5t - 1,35)(t - 3,7)$. Pour vérifier si $h(t) = - 5t^2 - 19,85t - 4,995$, nous devons utiliser la double distributivité. Rappelons la règle : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Ici, il faut être extrêmement vigilant avec les signes négatifs. En multipliant $-5t$ par $t$, on obtient $-5t^2$. En multipliant $-5t$ par $-3,7$, on obtient $+18,5t$. Ensuite, $-1,35$ multiplié par $t$ donne $-1,35t$, et enfin $-1,35$ multiplié par $-3,7$ donne $+4,995$. En regroupant les termes en $t$ ($18,5t - 1,35t$), on trouve $17,15t$. On constate immédiatement que l'affirmation est fausse, car le signe du dernier terme et le coefficient central ne correspondent pas à l'énoncé. C'est un piège classique sur la gestion des signes 'moins' qui se transforment en 'plus' lors de la multiplication.

Analyse des Questions 2 et 3 : Interprétation au temps t=0 et durée du saut

La question 2 demande la hauteur au moment où Gaëtan quitte la rampe. En mathématiques, le départ correspond à l'instant $t = 0$. Il suffit donc de calculer l'image de 0 par la fonction $h$. En utilisant la forme initiale $h(0) = (-5(0) - 1,35)(0 - 3,7)$, nous obtenons $(-1,35) \times (-3,7)$, ce qui donne $4,995$ mètres. L'affirmation annonçant 3,8 mètres est donc fausse. Pour la question 3, on observe le graphique ou l'on cherche l'instant où la hauteur redevient nulle ($h(t) = 0$). Le saut s'arrête quand la moto touche le sol. Graphiquement, on voit que la courbe coupe l'axe des abscisses à $t = 3,7$ secondes (ce qui est confirmé par le facteur $(t - 3,7)$ dans l'expression). Comme $3,7$ est inférieur à 4, l'affirmation est vraie.

Analyse de la Question 4 : Calcul d'antécédent et image

L'affirmation 4 teste la notion d'antécédent. Dire que 3,5 est un antécédent de 3,77 revient à vérifier si $h(3,5) = 3,77$. On remplace $t$ par 3,5 dans l'expression : $h(3,5) = (-5 \times 3,5 - 1,35)(3,5 - 3,7) = (-17,5 - 1,35)(-0,2) = (-18,85) \times (-0,2) = 3,77$. L'affirmation est donc rigoureusement vraie. Ce type de question nécessite une calculatrice bien maîtrisée pour éviter les erreurs de priorité opératoire. Il est essentiel de bien comprendre que l'antécédent est la valeur d'entrée ($x$ ou $t$) et l'image est le résultat ($y$ ou $h(t)$).

Analyse de la Question 5 : Recherche de l'extremum (hauteur maximale)

La dernière question porte sur le maximum de la fonction. Graphiquement, le sommet de la parabole semble se situer entre $t = 1,5$ et $t = 2$. On peut affiner cela par le calcul : le sommet d'une fonction du second degré se situe exactement au milieu des deux racines. Les racines sont $t_1 = 3,7$ et $t_2 = -1,35 / 5 = -0,27$. Le milieu est $(3,7 - 0,27) / 2 = 1,715$ secondes. Puisque $1,715 > 1,5$, Gaëtan atteint sa hauteur maximale après 1,5 seconde, et non avant. L'affirmation est donc fausse. Une lecture graphique attentive permettait déjà d'éliminer cette affirmation, mais le calcul apporte la preuve irréfutable.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Le premier piège est l'inversion des axes : rappelez-vous que le temps est toujours en abscisse (horizontal) et la hauteur en ordonnée (vertical). Le deuxième piège est la confusion entre "image" et "antécédent". Pour ne plus vous tromper, retenez que l'Antécédent est Avant, c'est le nombre de départ. Enfin, concernant la rédaction, ne vous contentez jamais de répondre par "Vrai" ou "Faux". Le correcteur attend une justification : soit un calcul détaillé, soit une phrase expliquant la lecture graphique (ex: "Par lecture graphique de l'abscisse du point le plus haut de la courbe..."). Citez les unités (secondes, mètres) pour montrer que vous comprenez le contexte de l'exercice. Une bonne présentation avec les étapes de calcul bien alignées garantit le maximum de points.