Introduction aux notions fondamentales

L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2016 (Zone Amérique du Nord) est un problème de synthèse particulièrement complet. Il mobilise deux compétences majeures du programme de 3ème : la recherche d'informations dans des documents complexes et l'utilisation implicite des fonctions pour comparer des tarifs. Dans un contexte de vie quotidienne — l'organisation d'un séjour au ski — l'élève doit extraire des données numériques réparties dans plusieurs tableaux (hébergement, matériel, forfaits) et les combiner logiquement pour aboutir à une aide à la décision. Ce type d'exercice, dit « tâche complexe », est un classique de l'épreuve du Brevet car il évalue la capacité à structurer un raisonnement en plusieurs étapes sans que celles-ci soient explicitement détaillées dans l'énoncé.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Comparaison des Forfaits

La première étape consiste à déterminer la formule de forfait la plus économique pour une famille composée de deux adultes et de deux enfants (Thomas et Anaïs), pour une durée de 6 jours. Ici, l'élève doit modéliser deux situations économiques distinctes.

Calcul de la Formule 1 (Prix fixe par personne)

Dans la Formule 1, le prix est donné globalement pour les 6 jours. Il n'y a pas de frais fixes, seulement un coût proportionnel au nombre de skieurs. Le calcul est le suivant :
Coût Adultes = $2 \times 187,50 = 375$ €
Coût Enfants = $2 \times 162,50 = 325$ €
Total Formule 1 = $375 + 325 = 700$ €.

Calcul de la Formule 2 (Modèle de fonction affine)

La Formule 2 suit une logique de fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$. Ici, $b$ représente l'achat de la Carte Famille (120 €), un coût fixe indépendant du nombre de jours de ski, et $ax$ représente le coût journalier par personne multiplié par les 6 jours de pratique.
Frais fixes = 120 €
Coût Adultes = $2 \times 25 \text{ €/jour} \times 6 \text{ jours} = 300$ €
Coût Enfants = $2 \times 20 \text{ €/jour} \times 6 \text{ jours} = 240$ €
Total Formule 2 = $120 + 300 + 240 = 660$ €.

Conclusion intermédiaire : En comparant 700 € et 660 €, on conclut que la Formule 2 est la plus intéressante pour la famille, leur permettant d'économiser 40 € sur le budget total des remontées mécaniques.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Établissement du Budget Total

Une fois le choix du forfait effectué, l'élève doit consolider l'ensemble des dépenses du séjour. C'est ici que la recherche d'informations est cruciale : il faut sélectionner les bonnes lignes dans les tableaux en fonction des dates et de la composition de la famille.

1. Le logement

La famille part du 20 au 27 février. En consultant le tableau des locations, on repère la colonne « 20/02 - 27/02 ». Ils réservent un studio pour 4 personnes. Le prix correspondant est de $\np{1020}$ €. Attention à ne pas se tromper de colonne ou de type de logement (T2 ou T3).

2. Le matériel de ski

Le matériel est loué pour 6 jours. Il faut distinguer les équipements selon l'âge et la discipline :
- Les 2 parents (Adultes) : $2 \times 17 \text{ €/jour} \times 6 \text{ jours} = 204$ €.
- Anaïs (Enfant - Skis) : $1 \times 10 \text{ €/jour} \times 6 \text{ jours} = 60$ €.
- Thomas (Enfant - Snowboard) : $1 \times 19 \text{ €/jour} \times 6 \text{ jours} = 114$ €.
Total Matériel = $204 + 60 + 114 = 378$ €.

3. Autres dépenses et Total Global

Il ne faut pas oublier les 500 € prévus pour la nourriture et les sorties, ainsi que le coût des forfaits calculé précédemment (660 €).
Budget Total = Logement + Matériel + Forfaits + Divers
Budget Total = $\np{1020} + 378 + 660 + 500 = \np{2558}$ €.

Les Pièges à Éviter (Conseils d'Expert)

Le principal danger de cet exercice réside dans l'oubli de données ou l'erreur d'unité.
1. La durée : Vérifiez bien que vous multipliez par 6 jours pour le matériel et les forfaits (Formule 2), mais pas pour le logement qui est un forfait à la semaine.
2. Thomas vs Anaïs : L'énoncé précise que Thomas fait du snowboard. Son tarif de location est presque le double de celui d'Anaïs (19 € contre 10 €). Ne faites pas l'erreur de calculer 2 fois le tarif ski enfant.
3. La Carte Famille : Dans la Formule 2, beaucoup d'élèves oublient d'ajouter les 120 € initiaux. C'est pourtant ce qui définit la rentabilité du système.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, votre copie doit être structurée. Utilisez des titres pour chaque poste de dépense (Hébergement, Forfaits, Matériel). Détaillez chaque opération : n'écrivez pas directement le résultat, mais montrez le produit (ex: $2 \times 17 \times 6$). Enfin, terminez toujours par une phrase de conclusion claire qui répond précisément à la question posée, en soulignant l'unité (l'euro).