Introduction aux concepts clés du sujet

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2016 (Polynésie) est un cas d'étude particulièrement riche pour les élèves de troisième. Il mobilise trois compétences fondamentales du cycle 4 : la recherche d'informations dans des documents de natures différentes (tableaux, listes à puces), la maîtrise de la proportionnalité et l'initiation aux fonctions affines à travers l'étude de la rentabilité. Dans un contexte de vie quotidienne — l'achat d'un véhicule — l'élève doit être capable de transformer des données brutes en un modèle mathématique permettant une prise de décision éclairée. Ici, la comparaison entre une version Essence et une version Diesel illustre parfaitement comment les mathématiques servent à comparer des coûts fixes (prix d'achat) et des coûts variables (consommation de carburant).

Analyse méthodique de la première question : Compléter le tableau

La première étape consiste à extraire les données pertinentes pour la version Diesel, en s'appuyant sur l'exemple de la version Essence déjà partiellement rempli. Pour calculer la consommation de carburant en litres, l'élève doit utiliser le taux de consommation moyenne fourni : $\bullet~~$ 5,2 L pour 100 km. Puisque M. Durand parcourt en moyenne $22\,300$ km par an, nous sommes face à une situation de proportionnalité. Le calcul à effectuer est un produit en croix ou l'application du coefficient de proportionnalité : $\frac{5,2 \times 22\,300}{100} = 1\,159,6$ Litres. Il est crucial ici de ne pas arrondir trop tôt pour garder la précision du budget final.

Ensuite, pour déterminer le budget de carburant en euros, il faut multiplier le volume consommé par le prix unitaire du gazole. D'après le second document, le prix d'un litre de gazole est de $1,224$ €. Le calcul est donc : $1\,159,6 \times 1,224 \approx 1\,419,35$ €. Pour la version Essence, le budget était de $1\,957$ €. On observe déjà une économie annuelle substantielle sur le carburant, ce qui est le propre du moteur Diesel, malgré un coût d'achat initial souvent plus élevé.

Analyse de la deuxième question : Le seuil de rentabilité

La question 2 demande de déterminer au bout de combien d'années l'économie réalisée compense le surcoût initial. C'est ici que la notion de fonction intervient de manière implicite. Appelons $x$ le nombre d'années. Le coût total de la version Essence peut être modélisé par la fonction $f(x) = 21\,550 + 1\,957x$, et celui de la version Diesel par $g(x) = 23\,950 + 1\,419,35x$.

Pour répondre à la question, on calcule d'abord la différence de prix d'achat : $23\,950 - 21\,550 = 2\,400$ €. C'est l'investissement supplémentaire de départ pour le Diesel. Ensuite, on calcule l'économie annuelle réalisée sur le carburant : $1\,957 - 1\,419,35 = 537,65$ €. Pour trouver le nombre d'années nécessaires, on divise le surcoût par l'économie annuelle : $\frac{2\,400}{537,65} \approx 4,46$ années. Dans le contexte de l'exercice, il faudra donc attendre la 5ème année pour que l'économie réalisée sur le carburant dépasse la différence de prix d'achat.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le premier piège est l'oubli de la division par 100 lors du calcul de la consommation. La donnée est "pour 100 km", une erreur classique consiste à multiplier directement $5,2$ par $22\,300$. Le second piège concerne la lecture des nombres : le sujet utilise le séparateur de milliers (espace fine ou `\np{}`) et des virgules pour les décimales. Une confusion entre $1.415$ € et $1\,415$ € serait fatale pour la cohérence du résultat. Enfin, attention aux unités : le résultat final de la question 2 doit être exprimé en années. Un résultat comme "4,46" sans unité ou sans interprétation (dire que c'est durant la 5ème année) pourrait coûter des points de rédaction.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, la clarté du raisonnement prime. Présentez vos calculs de manière structurée :
1. Annoncez ce que vous allez calculer (ex: "Calcul de la consommation annuelle de la version Diesel").
2. Posez l'opération en ligne avant de donner le résultat.
3. Faites une phrase de conclusion claire qui répond précisément à la question posée. Par exemple : "L'économie réalisée compensera la différence de prix après environ 4,5 ans, soit au cours de la cinquième année d'utilisation." N'oubliez pas que l'examinateur évalue votre capacité à justifier, pas seulement le résultat final numérique.