Introduction aux Grandeurs et à la Proportionnalité

L'exercice 2 du Brevet des collèges 2016 (Zone Étrangers) est un classique incontournable pour tout élève de troisième. Il mobilise des compétences transversales essentielles : la gestion des grandeurs composées, le calcul de pourcentages et la maîtrise de la proportionnalité. À travers trois affirmations de type « Vrai ou Faux », le candidat doit non seulement mobiliser ses connaissances théoriques, mais surtout faire preuve d'une grande rigueur dans la justification. Cet exercice balaie des situations concrètes du quotidien : l'évolution d'un prix de vente, la consommation annuelle d'une matière première et le respect du code de la route. Comprendre ces mécanismes est la clé pour décrocher le maximum de points lors de l'épreuve finale.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 1 : Les Évolutions de Pourcentage

La première affirmation porte sur le prix d'une boîte de macarons à $25$ € subissant deux hausses successives de $5\,\%$. L'erreur classique, commise par de nombreux élèves, consiste à additionner les pourcentages : $5\,\% + 5\,\% = 10\,\%$. Cependant, les pourcentages ne s'additionnent jamais de manière linéaire. On parle ici d'évolutions successives. Pour traiter cette question, le raisonnement doit passer par le coefficient multiplicateur. Augmenter une valeur de $5\,\%$, c'est la multiplier par $1 + 5/100$, soit $1,05$. Puisque la hausse a lieu pendant deux ans, on effectue le calcul suivant : $25 \times 1,05 \times 1,05$. Le résultat est $27,5625$ €. En comparant cette valeur à l'affirmation ($27,50$ €), on en déduit que l'affirmation est fausse. Cet exemple illustre parfaitement pourquoi une hausse de $10\,\%$ est différente de deux hausses de $5\,\%$. Dans le second cas, la deuxième hausse s'applique également sur les $5\,\%$ gagnés la première année, c'est ce qu'on appelle l'effet composé.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 2 : Conversions et Notation Scientifique

La deuxième affirmation nous plonge dans le domaine des grandeurs simples et des unités de masse. La problématique est double : il faut convertir une consommation journalière en consommation annuelle, puis passer des kilogrammes aux grammes tout en vérifiant l'écriture scientifique. Le raisonnement est le suivant : une année civile compte $365$ jours (sauf mention contraire sur les années bissextiles). Si la boutique utilise $4$ kg de sucre par jour, elle en utilisera $4 \times 365 = 1460$ kg par an. Pour comparer ce résultat à la valeur proposée de $1,46 \times 10^6$ grammes, une conversion est nécessaire. Sachant que $1$ kg = $10^3$ g, nous avons $1460$ kg = $1\,460\,000$ g. En notation scientifique, ce nombre s'écrit bien $1,46 \times 10^6$. L'affirmation est donc vraie. Ici, l'élève doit être capable de jongler entre les puissances de $10$ et les unités de mesure de masse avec agilité.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 3 : Calcul de Vitesse et Sécurité Routière

La troisième affirmation concerne les vitesses moyennes. Le candidat doit vérifier si un livreur a respecté la limitation de $50$ km/h en parcourant $12,5$ km en $12$ minutes. La formule fondamentale à utiliser est $V = D / T$. Attention toutefois au piège des unités ! Le temps est donné en minutes alors que la vitesse doit être analysée en km/h. Il y a deux méthodes de raisonnement possibles. La première consiste à convertir les minutes en heures : $12$ minutes correspondent à $12/60 = 0,2$ heure. La vitesse est alors $12,5 / 0,2 = 62,5$ km/h. La seconde méthode utilise la proportionnalité : si le camion parcourt $12,5$ km en $12$ minutes, en $60$ minutes (soit une heure), il parcourra $5$ fois plus de distance ($60/12 = 5$). On calcule $12,5 \times 5 = 62,5$ km. Dans les deux cas, on constate que $62,5 > 50$. Le livreur n'a donc pas respecté la limitation de vitesse. L'affirmation est fausse.

Les Pièges à Éviter au Brevet

Plusieurs erreurs récurrentes peuvent coûter des points précieux sur ce type d'exercice. Premièrement, dans l'affirmation 1, ne confondez pas le montant de l'augmentation avec le prix final. Calculez toujours le nouveau prix total. Deuxièmement, sur les conversions d'unités de temps, ne commettez pas l'erreur de dire que $12$ minutes est égal à $0,12$ heure ; le système horaire est sexagésimal (base $60$) et non décimal. Enfin, pour la notation scientifique de l'affirmation 2, assurez-vous que le chiffre devant la virgule est bien compris entre $1$ et $9$ (inclus). Un oubli d'unité dans votre rédaction finale peut également être sanctionné par le correcteur.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir tous les points, votre rédaction doit être structurée. Commencez chaque réponse par annoncer si l'affirmation est « Vraie » ou « Fausse » après avoir effectué vos calculs au brouillon. Présentez clairement vos calculs avec les unités associées : « $V = D / T = 12,5 / (12/60) = 62,5$ km/h ». Une phrase de conclusion est indispensable pour faire le lien entre votre résultat numérique et la question posée : « Comme $62,5$ km/h est supérieur à $50$ km/h, l'affirmation est fausse ». La clarté de votre raisonnement mathématique pèse autant que le résultat final dans le barème de correction du Brevet des collèges. Utilisez du vocabulaire précis comme « coefficient multiplicateur », « notation scientifique » ou « vitesse moyenne ».