Introduction aux notions clés du Brevet 2016

Cet exercice, issu de la session 2016 du Brevet de Mathématiques (Métropole), est un modèle du genre. Il mobilise trois compétences fondamentales du programme de 3ème : le calcul d'aires (aires et périmètres), la gestion de grandeurs composées (budget, consommation par mètre carré) et le théorème de Thalès appliqué à la géométrie plane. L'objectif pédagogique est double : vérifier la capacité de l'élève à extraire des informations d'un schéma complexe et sa rigueur dans l'application de formules géométriques classiques. Nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment optimiser la rédaction et éviter les erreurs classiques.

Analyse de la Question 1 : Aire et Budget de la zone de jeux

La première partie de l'exercice porte sur la « zone de jeux pour enfants », représentée par le triangle $PAS$. Pour répondre à la question du budget, il est impératif de suivre un raisonnement en trois étapes : calcul de l'aire, détermination du nombre de sacs et calcul du coût total.

Étape 1 : Calcul de l'aire du triangle PAS. D'après le codage de la figure (présence d'un angle droit en A), le triangle $PAS$ est rectangle en $A$. La formule de l'aire d'un triangle rectangle est $\frac{Base \times Hauteur}{2}$. Ici, nous avons $PA = 30~m$ et $AS = 18~m$. L'aire est donc : $\frac{30 \times 18}{2} = \frac{540}{2} = 270~m^2$.

Étape 2 : Le nombre de sacs de gazon. C'est ici qu'intervient la notion de grandeurs composées. On sait qu'un sac couvre environ $140~m^2$. Pour couvrir $270~m^2$, l'opération est $\frac{270}{140} \approx 1,93$. Attention, dans la réalité et pour l'examen, on ne peut pas acheter une fraction de sac. Il faut donc arrondir à l'unité supérieure, soit 2 sacs de graines.

Étape 3 : Calcul du budget. Un sac coûte $13,90$ euros. Pour 2 sacs, le budget est de $2 \times 13,90 = 27,80$ euros. L'erreur fréquente consiste à utiliser la valeur décimale $1,93$, ce qui mènerait à un budget erroné. Soyez vigilants sur le sens concret des résultats obtenus.

Analyse de la Question 2 : Le Théorème de Thalès et l'aire du Skatepark

La seconde partie demande de calculer l'aire de la zone « skatepark », correspondant au quadrilatère $RASC$. Ce n'est pas une figure usuelle directe (c'est un trapèze), la méthode la plus simple consiste à calculer l'aire du grand triangle $PRC$ et à y soustraire l'aire de la zone de jeux $PAS$ déjà calculée.

Utilisation du Théorème de Thalès : Pour calculer l'aire de $PRC$, il nous manque la longueur $RC$. Les droites $(AS)$ et $(RC)$ sont perpendiculaires à la même droite $(PR)$, elles sont donc parallèles. Les points $P, A, R$ d'une part et $P, S, C$ d'autre part sont alignés. Nous sommes dans la configuration classique de Thalès. On peut écrire l'égalité des rapports : $\frac{PA}{PR} = \frac{PS}{PC} = \frac{AS}{RC}$.

Calculons $PR$ : $PR = PA + AR = 30 + 10 = 40~m$. En utilisant le rapport $\frac{PA}{PR} = \frac{AS}{RC}$, nous obtenons $\frac{30}{40} = \frac{18}{RC}$. Par un produit en croix, $RC = \frac{40 \times 18}{30} = \frac{720}{30} = 24~m$.

Calcul de l'aire du skatepark : L'aire du triangle $PRC$ (rectangle en $R$) est $\frac{PR \times RC}{2} = \frac{40 \times 24}{2} = \frac{960}{2} = 480~m^2$. L'aire du skatepark est donc $Aire(PRC) - Aire(PAS) = 480 - 270 = 210~m^2$.

Les Pièges à éviter lors de l'épreuve

Le premier piège est l'oubli de la justification du parallélisme. Sans citer que $(AS)$ et $(RC)$ sont perpendiculaires à $(PR)$, l'utilisation de Thalès n'est pas rigoureuse. Le second piège concerne les unités : assurez-vous que toutes les longueurs sont dans la même unité (ici le mètre) avant de multiplier. Enfin, la gestion des arrondis pour l'achat des sacs est cruciale : dans un problème de « vie courante », on achète toujours au-dessus si la quantité est insuffisante.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir tous les points, structurez votre réponse en utilisant des connecteurs logiques. Par exemple : « On sait que... », « Or, d'après le théorème de... », « Donc... ». Pour la question de Thalès, n'oubliez pas de citer les deux triangles impliqués et les droites parallèles. Une figure bien analysée et une rédaction claire garantissent la bienveillance du correcteur. Mentionnez toujours l'unité finale ($m^2$ ou euros) pour conclure vos calculs.