Introduction aux notions de Géométrie et d'Algorithmique

Cet exercice issu du sujet du Brevet des Collèges 2022 (Série Générale, Métropole) est un incontournable pour les élèves de 3ème. Il combine deux piliers du programme de mathématiques : les transformations du plan (symétrie, translation, rotation) et l'algorithmique (programmation par blocs avec Scratch). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à identifier des propriétés géométriques dans un pavage complexe et à interpréter des scripts de programmation pour construire des figures géométriques précises comme des cerfs-volants ou des triangles.

Analyse Méthodique : Partie A - Transformations et Pavages

La première partie de l'exercice porte sur l'observation d'une figure géométrique composée de cerfs-volants. Pour réussir cette partie, il faut avoir une vision claire des propriétés des figures usuelles.

Question 1 : Calcul de l'angle $\widehat{\text{PSL}}$

L'énoncé précise que les triangles $SLP$ et $PLA$ sont des triangles équilatéraux. C'est l'information clé. Par définition, dans un triangle équilatéral, les trois angles sont de même mesure et leur somme est de $180^\circ$. Chaque angle mesure donc $60^\circ$. Ainsi, l'angle $\widehat{\text{PSL}}$, qui est un angle du triangle équilatéral $SLP$, mesure exactement $60^\circ$.

Question 2 : Image du cerf-volant 2 par la symétrie d'axe (PL)

La symétrie axiale agit comme un miroir. En pliant la figure le long de la droite $(PL)$, on cherche quelle figure recouvre le cerf-volant 2. En observant le pavage, on constate que le cerf-volant 2 et le cerf-volant 3 sont symétriques par rapport à cette droite. L'image est donc le cerf-volant 3. Astuce de rédaction : Même si la justification n'est pas demandée, visualisez toujours le point par point pour confirmer votre intuition.

Question 3 : Devenir du cerf-volant 1 au cerf-volant 6

Pour passer du cerf-volant 1 au cerf-volant 6, on observe un glissement sans retournement ni rotation. Le motif garde la même orientation. C'est la définition même d'une translation. On pourrait définir cette translation par le vecteur $\vec{LJ}$ si l'on regarde les points de contact. Retenez bien : Translation = Glissement.

Analyse Méthodique : Partie B - Programmation Scratch

La seconde partie demande de faire le lien entre un tracé géométrique et des blocs de code. C'est un exercice de lecture critique d'algorithmes.

Question 1 : Tracer le programme de Nicolas

Analysons le script de Nicolas : il demande d'avancer de 300 pas, de tourner de $120^\circ$ à gauche, et de répéter cela trois fois. Géométriquement, si l'on tourne de $120^\circ$ à l'extérieur, l'angle intérieur est de $180 - 120 = 60^\circ$. Trois côtés égaux avec des angles de $60^\circ$ forment un triangle équilatéral. Avec l'échelle $1\text{ cm} = 100\text{ pas}$, l'élève doit tracer un triangle équilatéral de $3\text{ cm}$ de côté.

Question 2 : Identifier le script correct pour le cerf-volant

Le cerf-volant à construire possède des caractéristiques spécifiques : deux côtés de $300$ pas et deux côtés de $173$ pas. En analysant les scripts :
- Le script d'Essya commence par un côté de 300, puis tourne à $90^\circ$. Or, le schéma montre que l'angle entre le grand côté et le petit côté n'est pas un angle droit (symbole présent sur le schéma entre le côté de 173 et 173).
- Le script de Tyago est le seul qui enchaîne correctement les longueurs et les angles de rotation pour fermer la figure selon les proportions données. Il alterne les longueurs 173 et 300 avec des rotations qui correspondent aux angles supplémentaires de la figure fermée. Tyago a donc écrit le script correct car il respecte l'alternance des longueurs des côtés consécutifs du cerf-volant.

Les Pièges à Éviter au Brevet

1. Confusion Angle de rotation / Angle intérieur : Dans Scratch, le bloc 'tourner' indique l'angle extérieur (la déviation). Pour obtenir un angle intérieur de $60^\circ$, il faut tourner de $120^\circ$. C'est l'erreur la plus fréquente au Brevet.
2. Oubli des unités : Dans la construction de la question B.1, respectez scrupuleusement l'échelle. Un oubli de $0,5\text{ cm}$ peut coûter des points sur la précision.
3. Vitesse de lecture : Ne confondez pas translation et symétrie centrale. La translation conserve l'orientation, la symétrie centrale 'renverse' la figure.

Conseils de Rédaction pour l'Épreuve

Pour maximiser vos points, soyez précis dans le vocabulaire. Utilisez les termes 'image', 'antécédent', 'axe de symétrie' et 'vecteur' (même si le mot vecteur n'est pas obligatoire en 3ème, il montre une grande maîtrise). Pour la partie Scratch, justifiez par l'élimination : 'Ce n'est pas Nicolas car son script trace un triangle, ce n'est pas Essya car les angles ne correspondent pas au schéma'. Une réponse bien structurée rassure le correcteur sur votre raisonnement logique.