Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2022 pour les centres étrangers, est un classique incontournable de l'épreuve de mathématiques. Il mobilise deux piliers majeurs du programme de 3ème : l'arithmétique et la géométrie spatiale (volumes). L'élève est ici plongé dans un contexte concret de gestion de stock et de packaging pour un chocolatier. La première partie demande une parfaite maîtrise de la décomposition en facteurs premiers pour résoudre un problème de répartition équitable, tandis que la seconde partie sollicite des compétences en calcul de volumes complexes (pyramide, pavé droit et boules) avec une dimension comparative et critique.

Analyse de la Partie 1 : Arithmétique et Répartition

La première problématique repose sur le partage de $300$ truffes ($125$ au café et $175$ à la noix de coco) en boîtes identiques sans reste. C'est l'application directe de la recherche de diviseurs communs.

Décomposition en facteurs premiers

Pour décomposer $125$ et $175$, on cherche les nombres premiers qui les divisent successivement :
- $125$ se termine par $5$, donc il est divisible par $5$. $125 = 5 \times 25 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3$.
- $175$ se termine par $5$, donc il est divisible par $5$. $175 = 5 \times 35 = 5 \times 5 \times 7 = 5^2 \times 7$.
Cette étape est cruciale car elle permet d'identifier visuellement tous les diviseurs communs possibles.

Déduction du nombre de boîtes

Les diviseurs communs à $125$ et $175$ s'obtiennent en combinant les facteurs premiers communs. Les facteurs communs sont $5$ et $5^2$. La liste est donc $1, 5$ et $25$. Le nombre maximal de boîtes correspond au Plus Grand Commun Diviseur (PGCD), soit ici $25$ boîtes. En réalisant ce nombre maximal, le chocolatier optimise sa distribution. La composition de chaque boîte se calcule simplement en divisant les totaux par le nombre de boîtes : $125 / 25 = 5$ truffes café et $175 / 25 = 7$ truffes coco par boîte.

Analyse de la Partie 2 : Volumes et Optimisation d'espace

La seconde partie est plus technique car elle demande de manipuler plusieurs formules de volume tout en respectant une condition logique précise : le volume des truffes doit être supérieur au volume de l'air restant (volume non occupé).

Étape 1 : Le volume des truffes

Chaque truffe est une boule de diamètre $1,5$ cm, donc de rayon $r = 0,75$ cm. Il faut calculer le volume d'une boule : $V_{boule} = \frac{4}{3} \times \pi \times 0,75^3$. Pour $12$ truffes, le volume total occupé est $V_{total\_truffes} = 12 \times (\frac{4}{3} \times \pi \times 0,75^3) \approx 21,21 \text{ cm}^3$.

Étape 2 : Comparaison avec les boîtes

Il faut ensuite calculer le volume de chaque type de contenant :
Type A (Pyramide) : La base est un carré de côté $4,8$ cm. L'aire de la base est $4,8^2 = 23,04 \text{ cm}^2$. Le volume de la pyramide est $\frac{23,04 \times 5}{3} = 38,4 \text{ cm}^3$.
Type B (Pavé droit) : Le volume est simplement $L \times l \times h = 5 \times 3,5 \times 3,5 = 61,25 \text{ cm}^3$.

Étape 3 : La condition de transport

La condition est : $V_{truffes} > V_{vide}$. Cela revient à dire que $V_{truffes}$ doit être supérieur à la moitié du volume total de la boîte ($V_{truffes} > V_{boite} / 2$).
- Pour la Pyramide A : La moitié de $38,4$ est $19,2$. Comme $21,21 > 19,2$, la condition est respectée.
- Pour le Pavé B : La moitié de $61,25$ est $30,625$. Comme $21,21 < 30,625$, la condition n'est pas respectée. Le chocolatier doit donc choisir la boîte de Type A.

Pièges fréquents à éviter

1. Le rayon vs le diamètre : L'énoncé donne le diamètre ($1,5$ cm). N'oubliez pas de diviser par $2$ pour obtenir le rayon ($0,75$ cm) avant d'utiliser la formule de la boule.
2. L'unité de volume : Assurez-vous que toutes vos dimensions sont en centimètres pour obtenir des centimètres cubes ($cm^3$).
3. La précision des calculs : Ne pas arrondir trop tôt les valeurs intermédiaires. Gardez la valeur exacte avec $\pi$ le plus longtemps possible ou utilisez plusieurs décimales sur votre calculatrice.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez explicitement les formules utilisées ($V = \frac{B \times h}{3}$ pour la pyramide).
- Faites des phrases de conclusion claires pour chaque sous-question.
- Pour la question arithmétique, expliquez pourquoi vous cherchez un diviseur commun (recherche d'un partage équitable).