Introduction au Programme de Calcul et au Calcul Littéral

L'exercice 5 du sujet du Brevet 2022 pour la zone Amérique du Nord est un classique incontournable qui lie l'arithmétique, l'utilisation des tableurs et la démonstration algébrique. L'objectif principal ici est de tester la capacité de l'élève à modéliser un processus de calcul par une expression littérale et à utiliser cette expression pour prouver des propriétés universelles. Nous allons explorer les notions de carré d'un nombre, de factorisation et les propriétés des nombres pairs, tout en décortiquant les mécanismes de la pensée algorithmique appliquée aux mathématiques de niveau 3ème.

Analyse Méthodique de la Partie A : Manipulation et Modélisation

La première étape consiste à tester le programme de calcul avec une valeur numérique concrète : le nombre 15. Le programme nous dicte de calculer le carré du nombre de départ, soit $15^2 = 225$, puis d'y ajouter le nombre de départ, soit $225 + 15 = 240$. Cette vérification est essentielle pour s'assurer de la bonne compréhension de l'énoncé avant de passer à l'abstraction.

Vient ensuite la question du tableur. En cellule B2, l'élève doit identifier la logique de calcul pour la généraliser. Puisque le nombre de départ se trouve en colonne A, la formule doit faire référence à la cellule A2. On attend ici la saisie d'une formule telle que =A2*A2+A2 ou =A2^2+A2. C'est un point clé du programme de 3ème : faire le pont entre l'outil numérique et l'expression mathématique.

Enfin, la modélisation littérale nous demande de remplacer le nombre choisi par la variable $x$. Le résultat obtenu devient alors une expression de la forme $x^2 + x$. Cette expression est le point de départ indispensable pour toute la suite de l'exercice, car elle permet de transformer un problème numérique en un problème algébrique manipulable.

Analyse Méthodique de la Partie B : Démonstration et Propriétés

Dans la Partie B, on introduit une conjecture : multiplier le nombre de départ par l'entier suivant donne le même résultat. Pour le nombre 9, on calcule $9 \times (9 + 1) = 9 \times 10 = 90$. En parallèle, le programme donne $9^2 + 9 = 81 + 9 = 90$. L'affirmation semble donc vérifiée.

Pour la démonstration générale, l'élève doit faire appel à la factorisation. L'expression trouvée précédemment est $x^2 + x$. En remarquant que $x$ est un facteur commun, on peut écrire $x^2 + x = x(x + 1)$. Ici, $x$ représente le nombre de départ et $(x + 1)$ représente l'entier qui suit immédiatement $x$. La démonstration est alors complète : le programme de calcul revient exactement à multiplier le nombre choisi par son successeur.

La dernière question porte sur la parité du résultat. Pour démontrer que le résultat est toujours pair, il faut analyser le produit $x(x + 1)$. Dans une suite de deux nombres entiers consécutifs, l'un est forcément pair et l'autre est forcément impair. Or, le produit d'un nombre pair par n'importe quel autre entier est toujours pair (car il contient le facteur 2). Ainsi, quel que soit l'entier $x$ choisi, $x(x + 1)$ sera systématiquement un multiple de 2, donc un nombre pair.

Les Pièges à Éviter

Attention à la confusion courante entre "calculer le carré" et "multiplier par 2". Dans cet exercice, il s'agit bien d'élever à la puissance 2. Un autre piège réside dans la syntaxe du tableur : n'oubliez jamais de commencer votre formule par le signe =, sans quoi Excel ou Calc ne reconnaîtront pas l'opération. Enfin, dans la démonstration de la parité, évitez de vous contenter d'exemples numériques. Une démonstration doit rester générale : mentionner que sur deux entiers consécutifs, l'un est obligatoirement pair suffit à valider le raisonnement rigoureux attendu au Brevet.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, détaillez chaque étape de calcul dans la Partie A. Écrivez explicitement $15 \times 15 = 225$ avant d'ajouter 15. Pour la partie tableur, écrivez la formule exactement comme elle apparaîtrait sur un écran. Dans la partie démonstration, utilisez des connecteurs logiques : "On sait que...", "Or...", "Donc...". Une structure claire montre au correcteur que votre raisonnement est fluide et maîtrisé. N'oubliez pas de conclure chaque question par une phrase réponse reprenant les termes de l'énoncé.