Introduction aux notions clés du Brevet 2022

Cet exercice issu du sujet du Brevet des Collèges 2022 (Zone Amérique du Nord) constitue un excellent support pour réviser les piliers de la géométrie plane en classe de 3ème. Il balaye un spectre large de compétences : l'utilisation du théorème de Pythagore, l'application du théorème de Thalès, la maîtrise de la trigonométrie, ainsi que la compréhension des transformations géométriques et des effets d'un agrandissement sur les surfaces. L'objectif ici n'est pas seulement de calculer, mais de démontrer et de justifier avec rigueur, une attente majeure des correcteurs du DNB.

Analyse Question 1 : Démontrer une longueur avec Pythagore

La première question nous demande de démontrer que la longueur $HS$ est de $12$~cm. Pour ce faire, nous devons nous placer dans le triangle $MHS$. D'après les codages de la figure (présence d'un angle droit en $H$), le triangle $MHS$ est rectangle en $H$. C'est la condition sine qua non pour invoquer le théorème de Pythagore.

Le raisonnement doit être structuré ainsi : dans le triangle $MHS$ rectangle en $H$, l'hypoténuse est le côté $[MS]$. La relation de Pythagore s'écrit donc : $MS^2 = MH^2 + HS^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies dans l'énoncé, nous obtenons $13^2 = 5^2 + HS^2$, ce qui équivaut à $169 = 25 + HS^2$. En isolant $HS^2$, on calcule $169 - 25 = 144$. Enfin, $HS = \sqrt{144} = 12$~cm. La démonstration est complète car elle suit la structure : Données / Théorème / Calcul / Conclusion.

Analyse Question 2 : Le théorème de Thalès en configuration papillon

Pour calculer la longueur $AT$, il faut identifier une configuration de Thalès. Ici, les points $M, A, S$ sont alignés ainsi que les points $M, T, H$. De plus, les droites $(AT)$ et $(HS)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(TH)$, ce qui implique mathématiquement qu'elles sont parallèles entre elles. Cette étape de justification est cruciale pour obtenir l'intégralité des points.

En appliquant le théorème de Thalès, nous établissons l'égalité des rapports suivants : $\frac{MT}{MH} = \frac{MA}{MS} = \frac{AT}{HS}$. Nous connaissons $MT = 7$, $MH = 5$ et $HS = 12$. On utilise le rapport $\frac{7}{5} = \frac{AT}{12}$. Par un produit en croix, on trouve $AT = \frac{7 \times 12}{5} = \frac{84}{5} = 16,8$~cm. L'erreur classique ici serait d'inverser les rapports ; gardez toujours le même triangle au numérateur.

Analyse Question 3 : Calcul d'angle et Trigonométrie

La question porte sur la mesure de l'angle $\widehat{HMS}$. Nous nous situons dans le triangle $MHS$ rectangle en $H$. Nous connaissons les trois côtés, nous avons donc l'embarras du choix entre le cosinus, le sinus ou la tangente. Utilisons le cosinus : $\cos(\widehat{HMS}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{MH}{MS} = \frac{5}{13}$.

À l'aide de la calculatrice, en utilisant la fonction $\text{Arccos}$ ou $\cos^{-1}$, nous trouvons une valeur d'environ $67,38^\circ$. L'énoncé demandant un arrondi au degré près, la réponse attendue est $67^\circ$. N'oubliez jamais de vérifier que votre calculatrice est bien réglée en mode 'Degré' avant l'épreuve.

Analyse Question 4 : Identification de l'Homothétie

Le triangle $MAT$ est une reproduction du triangle $MHS$ mais avec des dimensions différentes et une orientation opposée par rapport au point $M$. Parmi les transformations proposées (symétries, rotation, translation, homothétie), seule l'homothétie permet de modifier la taille d'une figure tout en conservant ses proportions. Comme le triangle est "retourné" par rapport au centre $M$, il s'agit d'une homothétie de centre $M$ et de rapport négatif (précisément $-1,4$ car $7 / 5 = 1,4$). Cependant, l'énoncé ne demandait que de nommer la transformation.

Analyse Question 5 : Agrandissement et réduction - Le piège des aires

Cette question est un classique absolu du Brevet. Un élève affirme que si les longueurs sont multipliées par $1,4$, alors l'aire est aussi multipliée par $1,4$. **C'est faux.** Dans un agrandissement de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, mais les aires sont multipliées par $k^2$.

Ici, le rapport d'agrandissement est $k = 1,4$. L'aire du triangle $MAT$ est donc multipliée par $1,4^2$, soit $1,96$. L'affirmation de l'élève est donc erronée. Justifier par la propriété du cours sur les coefficients d'agrandissement est la méthode la plus rapide et la plus élégante pour le correcteur.

Les pièges à éviter et conseils de rédaction

Pour réussir cet exercice, faites attention aux points suivants :
1. **Rédaction :** Toujours nommer le triangle et préciser qu'il est rectangle avant d'utiliser Pythagore ou la Trigonométrie.
2. **Parallélisme :** Pour Thalès, ne supposez jamais que les droites sont parallèles, prouvez-le (ici via la perpendiculaire commune).
3. **Unités :** Vérifiez que toutes vos longueurs sont dans la même unité (ici le cm) et n'oubliez pas de préciser l'unité dans votre phrase de réponse.
4. **Arrondis :** Respectez scrupuleusement la consigne d'arrondi (au degré près, au dixième, etc.). Un mauvais arrondi peut coûter des points précieux.