Introduction aux Probabilités et Statistiques au Brevet

Cet exercice issu du sujet de Polynésie 2022 est un modèle du genre pour les élèves de 3ème. Il combine deux thématiques majeures du programme de mathématiques : les probabilités (modélisation par une urne) et les statistiques (analyse de données collectées). La maîtrise de ces notions est fondamentale car elles représentent environ 15 à 20 % des points lors de l'épreuve finale du Brevet des collèges.

Analyse Méthodique de la Partie Probabilités

La première étape cruciale consiste à déterminer l'univers des possibles, c'est-à-dire le nombre total de boules dans l'urne. Sans cette donnée, aucun calcul de probabilité n'est possible. En sommant les boules : $20$ rouges, $10$ vertes, $5$ bleues et $1$ noire, nous obtenons un total de $36$ boules. C'est votre dénominateur commun.

Question 1.a : Gagner 10 points

Le gain de 10 points correspond au tirage de la boule noire. Puisqu'il n'y a qu'une seule boule noire, la probabilité est de $1/36$. En mathématiques, on note souvent $P(10\text{ points}) = \frac{1}{36}$. N'essayez pas forcément de donner une valeur décimale si elle ne tombe pas juste ; la fraction simplifiée est toujours privilégiée par les correcteurs.

Question 1.b : Gagner plus de 3 points

Ici, le piège est de mal interpréter "plus de 3". Cela inclut les gains de 5 points (boules bleues) et 10 points (boule noire). Il faut donc additionner les effectifs : $5 + 1 = 6$ boules favorables. La probabilité est $\frac{6}{36}$, ce qui se simplifie en $\frac{1}{6}$. Réfléchir en termes d'événements contraires peut aussi aider dans des cas plus complexes, mais ici la lecture directe est plus efficace.

Question 1.c : Comparaison de chances

Pour comparer les probabilités, comparez les effectifs. Il y a $10$ boules vertes (2 points) et $5$ boules bleues (5 points). Comme $10 > 5$, le joueur a deux fois plus de chances de gagner 2 points que d'en gagner 5.

Analyse Statistique des Scores obtenus

La seconde partie bascule sur le traitement de données réelles. Nous sortons de la théorie pour entrer dans l'observation.

Question 2.a : Calcul de la moyenne

La moyenne est le quotient de la somme des scores par l'effectif total (15). Ne calculez pas $1+1+1...$, mais regroupez par valeurs : $(5 \times 1) + (5 \times 2) + (3 \times 5) + (2 \times 10) = 5 + 10 + 15 + 20 = 50$. La moyenne est $\frac{50}{15} \approx 3,33$ points. Attention à bien présenter le calcul détaillé pour obtenir tous les points de rédaction.

Question 2.b : Détermination de la médiane

La médiane est la valeur qui partage la série en deux groupes d'effectifs égaux. Avec $15$ joueurs, la médiane est la $8^{\text{ème}}$ valeur (car $\frac{15+1}{2} = 8$). En rangeant les scores par ordre croissant (1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2...), on s'aperçoit que la 8ème valeur est un $2$. Ainsi, la médiane est de 2 points. Cela signifie qu'au moins 50% des joueurs ont eu 2 points ou moins.

Question 2.c : Fréquence du score 10

La fréquence est le rapport de l'effectif du score (2 joueurs) sur l'effectif total (15). Soit $2/15$, environ $13,3\%$. N'oubliez pas que la fréquence peut s'exprimer sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

Lien entre Probabilités et Fréquences (Question 3)

Peut-on estimer le nombre de gagnants sur 1000 joueurs ? La réponse est OUI. C'est l'application de la loi des grands nombres. Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée tend vers la probabilité théorique. On multiplie la probabilité $\frac{1}{36}$ par l'échantillon de $1000$ : $1000 \times \frac{1}{36} \approx 27,7$. On peut donc estimer qu'environ 28 joueurs obtiendront le score de 10 points. Attention, c'est une estimation et non une certitude absolue, c'est ce point de vocabulaire que le correcteur attend.

Conseils de Rédaction et Pièges à éviter

• L'oubli de l'effectif total : Vérifiez toujours vos sommes (ici $20+10+5+1$). Une erreur ici fausse tout l'exercice.
• La confusion Moyenne/Médiane : La moyenne est globale, la médiane est une position.
• La simplification : Ne donnez jamais un résultat brut. Expliquez d'où sort le chiffre. Par exemple : "Il y a 36 boules au total car $20+10+5+1=36$".