Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice issu du sujet du Brevet de Mathématiques 2022 pour la zone Polynésie est un modèle de polyvalence. Il balaye quatre domaines fondamentaux du programme de 3ème : le calcul numérique avec les fractions, la géométrie plane avec la réciproque du théorème de Thalès, l'arithmétique via la décomposition en facteurs premiers, et enfin la gestion de grandeurs avec les ratios. L'objectif ici n'est pas seulement de donner une réponse, mais de démontrer la validité d'une affirmation par un raisonnement rigoureux. En mathématiques, la mention 'expliquer soigneusement' implique l'usage de définitions, de propriétés et de calculs détaillés.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 1 : Priorités et Fractions

La première question porte sur une expression numérique complexe : \(- \frac{7}{5} + \frac{6}{5} \times \frac{4}{7}\). L'erreur classique consiste à effectuer l'addition en premier simplement parce qu'elle apparaît à gauche. Cependant, la règle des priorités opératoires est stricte : la multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction.

Pour résoudre ce calcul, il faut d'abord multiplier les deux fractions : \(\frac{6}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{6 \times 4}{5 \times 7} = \frac{24}{35}\). L'expression devient alors \(- \frac{7}{5} + \frac{24}{35}\). Pour additionner ces fractions, elles doivent être au même dénominateur. Puisque \(35 = 5 \times 7\), nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 7 : \(- \frac{7 \times 7}{5 \times 7} = - \frac{49}{35}\). Le calcul final est \(\frac{-49 + 24}{35} = - \frac{25}{35}\). En simplifiant par 5, on obtient \(- \frac{5}{7}\). L'affirmation proposait \(- \frac{4}{35}\), elle est donc Fausse. Le passage par la fraction irréductible est essentiel pour conclure.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 2 : Géométrie et Théorème de Thalès

L'affirmation 2 nous présente une configuration en 'papillon'. On nous demande de vérifier si deux droites sont parallèles. C'est l'application directe de la réciproque du théorème de Thalès. Les points G, A, R et E, A, M sont alignés dans le même ordre. Nous devons comparer deux rapports de longueurs issus du sommet commun A : \(\frac{AE}{AM}\) et \(\frac{AG}{AR}\).

Calculons d'une part \(\frac{AE}{AM} = \frac{4,2}{3} = 1,4\). Calculons d'autre part \(\frac{AG}{AR} = \frac{9,8}{7} = 1,4\). Puisque les rapports sont égaux (\(\frac{AE}{AM} = \frac{AG}{AR}\)) et que les points sont alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès nous permet d'affirmer que les droites (GE) et (MR) sont parallèles. L'affirmation est donc Vraie. Attention à ne pas oublier de citer le nom du théorème, c'est ce qui rapporte le maximum de points à l'examen.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 3 : Arithmétique et Facteurs Premiers

L'affirmation 3 concerne la décomposition du nombre 126. Une décomposition en produit de facteurs premiers ne doit contenir, comme son nom l'indique, que des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, etc.). L'affirmation propose \(2 \times 7 \times 9\). Si l'on effectue le calcul, on trouve bien 126 (\(14 \times 9 = 126\)). Cependant, le nombre 9 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 3 (\(9 = 3^2\)).

La véritable décomposition en produit de facteurs premiers de 126 est \(2 \times 3^2 \times 7\) ou \(2 \times 3 \times 3 \times 7\). Par conséquent, bien que le résultat du produit soit correct, la décomposition ne respecte pas la définition mathématique stricte exigée en classe de 3ème. L'affirmation est donc Fausse. Ce type de piège est fréquent au Brevet pour tester la précision de vos connaissances théoriques.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 4 : Ratios et Proportionnalité

La dernière affirmation traite des ratios. Le mélange vinaigrette suit le ratio 1 : 3 : 7 pour la moutarde, le vinaigre et l'huile. Cela signifie que pour chaque 'part' de moutarde, il y a 3 parts de vinaigre et 7 parts d'huile. Au total, le mélange contient \(1 + 3 + 7 = 11\) parts égales.

On cherche à obtenir 330 mL de sauce. Calculons la valeur d'une part : \(330 / 11 = 30\) mL. Puisque l'huile représente 7 parts, la quantité d'huile nécessaire est de \(7 \times 30 = 210\) mL. L'affirmation est donc Vraie. Ce raisonnement par 'parts' est le plus efficace pour résoudre les problèmes de ratios sans s'emmêler dans des produits en croix complexes.

Les Pièges à Éviter

• Opérations sur les fractions : Ne jamais oublier la priorité de la multiplication. Ne soustrayez jamais les numérateurs si les dénominateurs sont différents.
• Thalès : Ne confondez pas le théorème (pour calculer une longueur) et sa réciproque (pour prouver le parallélisme). Vérifiez toujours l'ordre des points.
• Nombres premiers : Apprenez la liste des premiers nombres premiers par cœur (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19). Le nombre 1 n'est pas premier et 9 est le piège classique.
• Ratios : Additionnez toujours les parts du ratio pour trouver le dénominateur total de la proportion.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour chaque affirmation, commencez par une phrase d'introduction du type 'Vérifions si l'affirmation est vraie'. Présentez vos calculs de manière aérée. Pour la géométrie, utilisez les connecteurs logiques 'D'une part... D'autre part...'. Concluez clairement par 'L'affirmation est donc Vraie' ou 'L'affirmation est donc Fausse'. Une copie propre et structurée permet au correcteur de valoriser votre démarche, même si vous faites une petite erreur de calcul en cours de route.