Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice issu du Brevet des Collèges 2020 (Métropole) est une mise en situation concrète particulièrement riche. Il mobilise des compétences fondamentales du cycle 4 : la géométrie plane (Théorème de Pythagore et Théorème de Thalès), la trigonométrie, ainsi que l'exploitation de documents pour résoudre un problème de coût (arithmétique). L'objectif est de démontrer votre capacité à extraire des données pertinentes d'un schéma technique pour justifier des choix de construction.

Analyse de la Question 1 : Calcul de la hauteur par Pythagore

La première étape consiste à déterminer la hauteur AH du portique. Le document 1 précise que le triangle ABC est isocèle en A et que H est le milieu de [BC]. En géométrie, dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base. On en déduit que le triangle ABH est rectangle en H. Pour calculer AH, nous connaissons l'hypoténuse AB (342 cm) et la base BC (290 cm). Puisque H est le milieu, BH = 290 / 2 = 145 cm. En appliquant l'égalité de Pythagore : $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Soit $AH^2 = 342^2 - 145^2 = 116 964 - 21 025 = 95 939$. En prenant la racine carrée, on trouve $AH \approx 309,74$ cm. L'arrondi au cm près nous donne donc 310 cm.

Analyse de la Question 2 : Application du Théorème de Thalès

Pour calculer la longueur de la barre de maintien MN, nous utilisons les propriétés de parallélisme indiquées dans l'énoncé. On sait que (MN) est parallèle à (BC). Les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés. Nous sommes dans une configuration classique de Thalès. Le rapport de proportionnalité s'écrit : $AM/AB = AN/AC = MN/BC$. Avec AN = 165 cm, AC = 342 cm et BC = 290 cm, nous utilisons l'égalité : $165/342 = MN/290$. Par un produit en croix, on obtient $MN = (165 \times 290) / 342 \approx 139,91$ cm. La longueur est bien d'environ 140 cm.

Analyse de la Question 3 : Optimisation du budget et extraction de données

Cette question demande une lecture rigoureuse du Document 2. Pour construire le portique, il nous faut : 1. Quatre poutres de 342 cm pour les pieds. La longueur minimale à acheter est de 3,5 m (soit 350 cm) à 11,75 € l'unité. 2. Une poutre de 384 cm pour le sommet. Il faut donc une poutre de 4 m à 12,99 €. 3. Deux barres de maintien de 140 cm. Le choix se porte sur la longueur de 1,5 m à 3,89 € l'unité. En additionnant ces coûts aux fixations (80 €) et aux balançoires (50 €), le calcul est : $(4 \times 11,75) + 12,99 + (2 \times 3,89) + 80 + 50$. Ce qui donne $47 + 12,99 + 7,78 + 80 + 50 = 197,77$ €. Note : Une légère variation peut exister selon l'interprétation des arrondis ou des stocks, mais la logique de sélection de la longueur supérieure la plus proche est la clé.

Analyse de la Question 5 : Vérification de l'angle par la Trigonométrie

Pour vérifier la sécurité du portique, il faut calculer l'angle $\widehat{BAC}$. Dans le triangle ABH rectangle en H, nous pouvons utiliser le sinus : $\sin(\widehat{BAH}) = BH / AB = 145 / 342$. À l'aide de la calculatrice (Arctan/Sin-1), on trouve $\widehat{BAH} \approx 25,08$°. Comme la hauteur AH est aussi la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$, l'angle total est le double : $25,08 \times 2 = 50,16$°. Puisque 50,16° est bien compris entre 45° et 55°, le portique respecte les normes de sécurité.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Attention aux unités ! Les documents mélangent souvent cm, mm et m. Convertissez toujours tout dans la même unité avant de lancer vos calculs. Un autre piège fréquent est d'oublier de doubler l'angle trouvé par trigonométrie dans un triangle rectangle pour retrouver l'angle total du sommet du portique. Enfin, pour le coût, ne prenez pas la longueur exacte calculée, mais la longueur de poutre disponible immédiatement supérieure dans le catalogue.

Conseils de rédaction

Pour obtenir le maximum de points : citez toujours le théorème utilisé (Ex: 'Dans le triangle ABH rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore...'). Présentez vos résultats avec l'unité correcte et encadrez votre réponse finale. La clarté de la justification sur le choix des poutres dans la question 3 est aussi importante que le calcul lui-même.