Introduction aux notions de Géométrie et Grandeurs Composées

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2020 de Nouvelle-Calédonie est un cas d'étude complet qui mobilise trois piliers majeurs du programme de mathématiques de 3ème : la géométrie dans l'espace (volumes), le théorème de Pythagore appliqué au calcul d'une hauteur, et la gestion des grandeurs composées (masse volumique et prix). L'objectif est de modéliser un réservoir industriel, appelé silo, composé d'un cylindre de révolution et d'un cône de révolution. Ce type d'exercice est fréquent car il permet de vérifier si l'élève sait passer d'une figure géométrique théorique à un calcul de coût concret dans un contexte de vie réelle (aquaculture).

Analyse Méthodique : Du Rayon au Volume du Cylindre

La première question demande de calculer le volume du cylindre. La première étape, souvent oubliée, est de définir le rayon. L'énoncé donne le diamètre DC = $2,8$~m. Le rayon est donc de $1,4$~m. En utilisant la formule rappelée dans l'énoncé : $V = \pi \times r^2 \times h$, on remplace par les valeurs : $V = \pi \times 1,4^2 \times 2,4$. Ici, l'analyse porte sur la précision : l'élève doit utiliser la touche $\pi$ de sa calculatrice pour obtenir une valeur précise avant d'effectuer l'arrondi à l'unité demandé. Le résultat est environ de $15$ m³. Il est crucial de bien spécifier l'unité de mesure, ici le mètre cube (m³), car le volume représente l'espace intérieur occupé par les granulés dans la partie haute du silo.

Démonstration de la Hauteur du Cône avec Pythagore

La deuxième question est une démonstration. On nous demande de prouver que la hauteur AB du cône est d'environ $2,5$ m. En observant la figure (qui n'est pas à l'échelle), on repère un triangle rectangle formé par la hauteur AB, le rayon (segment horizontal de $1,4$ m) et la génératrice du cône (segment oblique de $2,9$ m). C'est ici que le théorème de Pythagore intervient. Puisque le triangle est rectangle en A, l'égalité de Pythagore s'écrit : $2,9^2 = AB^2 + 1,4^2$. Pour isoler $AB^2$, on effectue $8,41 - 1,96 = 6,45$. En extrayant la racine carrée, on obtient $AB = \sqrt{6,45} \approx 2,539$. L'arrondi à $2,5$ m est donc cohérent. Cette étape nécessite une rédaction rigoureuse : citer le triangle rectangle, le nom du théorème et présenter l'égalité avant le calcul.

Calcul du Volume Total du Silo

La troisième étape consiste à calculer le volume total du silo. Pour cela, on doit calculer le volume du cône et l'ajouter à celui du cylindre calculé précédemment. La formule du cône est $V = (\pi \times r^2 \times h) / 3$. Avec $r = 1,4$ m et $h = 2,5$ m (valeur trouvée à la question précédente), le volume du cône est d'environ $5,13$ m³. Le volume total du silo est donc $15$ m³ (cylindre) + $5$ m³ (cône), soit environ $20$ m³. Attention : lors des calculs intermédiaires, gardez toujours plusieurs décimales pour éviter que l'arrondi final ne soit faussé. Une erreur fréquente est d'additionner des arrondis trop grossiers dès le début.

Gestion des Grandeurs Composées : Masse et Coût

La dernière question bascule dans l'arithmétique appliquée. L'aquaculteur commande $16$ m³ de granulés. Notez bien que l'on n'utilise pas le volume total du silo ($20$ m³), car la commande est spécifique. On nous donne la masse volumique : $750$ kg/m³. Cela signifie que chaque mètre cube pèse $750$ kg. La masse totale est donc $16 \times 750 = 12\,000$ kg. Ensuite, le prix est donné au kilogramme : $160$ F CFP. Le montant total se calcule par la multiplication : $12\,000 \times 160$. Le résultat est de $1\,920\,000$ F CFP. Ce type de question évalue votre capacité à lier différentes informations et à vérifier la cohérence des unités : m³ multipliés par kg/m³ donne bien des kg.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Les pièges classiques sur ce sujet incluent : l'oubli de la division par 2 du diamètre pour trouver le rayon, la confusion entre les formules du volume du cylindre et du cône (le facteur $1/3$), et l'erreur d'unité dans le calcul final. Pour la rédaction, soyez systématiques. Mentionnez toujours les formules littérales avant de passer à l'application numérique. Pour Pythagore, n'oubliez pas d'affirmer que le triangle est rectangle. Enfin, concluez chaque question par une phrase de réponse claire, en soulignant l'unité (m³, kg ou F CFP). Une présentation soignée permet souvent de gagner les points de soin et de rigueur scientifique.