Introduction aux notions de Fonctions et Tableur au Brevet
L'exercice 4 de la session 2020 de la zone Métropole est un sujet riche qui combine deux piliers du programme de mathématiques de 3ème : les fonctions (linéaires et affines) et l'usage du tableur. Dans un contexte de gestion de tarifs pour une association, l'élève doit démontrer sa capacité à modéliser une situation concrète par des outils mathématiques, à interpréter des données tabulées et à exploiter une représentation graphique. Cet exercice est crucial car il prépare non seulement à l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB) mais aussi aux compétences numériques de base utilisées dans la vie quotidienne.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Compléter le tableau de valeurs
La première étape consiste à remplir les données manquantes pour le Tarif A et le Tarif B. Pour le Tarif A, nous sommes face à un prix fixe par demi-journée de 8 €. Mathématiquement, cela correspond à multiplier le nombre de jours par 8. Pour la cellule D2 (3 demi-journées), on calcule $3 \times 8 = 24$. Pour E2 (4 demi-journées), $4 \times 8 = 32$. Enfin pour F2 (5 demi-journées), $5 \times 8 = 40$.
Pour le Tarif B, le calcul est légèrement plus complexe car il inclut une part fixe (l'adhésion de 30 €) et une part variable (5 € par séance). Pour la cellule D3 (3 demi-journées), le calcul est $30 + 3 \times 5 = 30 + 15 = 45$. Pour E3, $30 + 4 \times 5 = 50$. Pour F3, $30 + 5 \times 5 = 55$. Ce travail de calcul mental ou posé permet de vérifier la compréhension du texte avant d'entamer la modélisation algébrique.
2. Maîtrise des formules de tableur
La question 2 interroge la compétence numérique : comment automatiser ces calculs ? La cellule B3 correspond au tarif B pour 1 demi-journée. La logique d'un tableur impose de commencer par le signe $=$. La structure du tarif est : Adhésion + (Prix par séance $\times$ Nombre de séances). Le nombre de séances se trouve dans la ligne 1. Ainsi, pour la cellule B3, la formule est $=30 + 5 * B1$ (Réponse D). Pourquoi pas les autres ? La réponse A ne calcule que le tarif A. La réponse B multiplie l'adhésion par le nombre de jours, ce qui est une erreur de lecture. La réponse C multiplie l'adhésion par le nombre de jours deux fois. Comprendre l'adressage relatif ($B1$) est essentiel pour l'épreuve.
3. Distinction entre Fonctions Linéaires et Affines
La question 3 introduit les fonctions $f(x) = 8x$ et $g(x) = 30 + 5x$. Une situation de proportionnalité est représentée par une fonction linéaire de la forme $f(x) = ax$. Ici, c'est la fonction $f$ qui traduit la proportionnalité car elle multiplie la variable $x$ par un coefficient constant 8 sans ajouter de valeur initiale. La fonction $g$ est une fonction affine car elle possède une ordonnée à l'origine (30) non nulle.
4. Représentation Graphique
Pour tracer la fonction $f(x) = 8x$, on sait qu'elle passe par l'origine du repère (0;0) car c'est une fonction linéaire. Il suffit de placer un deuxième point pour tracer la droite. Par exemple, pour $x=10$, $f(10) = 80$. On place le point de coordonnées (10;80) et on trace la droite passant par l'origine. L'élève doit être précis dans le tracé, notamment sur le respect des échelles fournies sur les axes.
5. Résolution d'équation et optimisation de budget
La question 5 demande quand les tarifs sont égaux. Graphiquement, cela correspond au point d'intersection des deux droites. Algébriquement, on résout $f(x) = g(x)$, soit $8x = 30 + 5x$. En isolant $x$ : $8x - 5x = 30$ donc $3x = 30$, d'où $x = 10$. Les tarifs sont égaux pour 10 demi-journées.
Enfin, pour un budget de 100 €, on cherche le $x$ maximal. Avec le tarif A : $8x \leq 100 \implies x \leq 12,5$. On peut donc faire 12 demi-journées. Avec le tarif B : $30 + 5x \leq 100 \implies 5x \leq 70 \implies x \leq 14$. Le nombre maximal de séances est donc de 14 avec le tarif B.
Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction
Attention à ne pas oublier le signe $=$ dans les formules de tableur, c'est une erreur classique sanctionnée par les correcteurs. Concernant la lecture graphique, veillez à bien identifier les unités : un carreau ne vaut pas forcément 1 unité (ici l'axe des ordonnées va de 20 en 20). Pour la rédaction, n'hésitez pas à expliciter votre démarche pour la dernière question : montrez que vous comparez les deux tarifs pour un budget donné. Même si une question ne demande pas de justification, garder une trace de vos calculs au brouillon aide à la vérification finale.