Introduction aux notions de Calcul Littéral et Programmes de Calcul

L'exercice 3 du Brevet de Mathématiques 2020 (Série Générale - Nouvelle-Calédonie) est un classique incontournable du programme de 3ème. Il s'articule autour de deux piliers fondamentaux : les programmes de calcul et la résolution d'équations. Ces exercices ont pour but de vérifier si l'élève est capable de passer d'un langage naturel (une suite d'instructions en français) à un langage symbolique (le calcul littéral). Les tags imposés pour cet exercice sont : Programme de calculs, Calcul littéral, et Équations. Comprendre ces concepts est essentiel car ils représentent une part significative des points lors de l'examen final.

Analyse Méthodique des Programmes de Calcul

L'exercice nous présente deux structures algorithmiques simples. Le Programme A demande d'effectuer une soustraction puis une multiplication par le nombre initial. Le Programme B, quant à lui, repose sur une élévation au carré suivie d'une soustraction. Analysons les questions étape par étape pour guider l'élève dans son raisonnement.

1. Application numérique : Le cas d'Alice

Pour la première question, Alice choisit le nombre 4. Appliquons les étapes du Programme A :
- Choisir un nombre : $4$
- Soustraire 5 : $4 - 5 = -1$
- Multiplier par le nombre de départ : $-1 \times 4 = -4$.
Le résultat est bien $-4$. Cette question sert de mise en confiance. Il est crucial de bien identifier le 'nombre de départ' à la dernière étape pour ne pas multiplier par un autre chiffre par erreur.

2. Le piège des nombres négatifs : Le cas de Lucie

Lucie utilise le Programme B avec $-3$. C'est ici que l'attention doit être maximale :
- Choisir un nombre : $-3$
- Mettre au carré : attention, il s'agit de $(-3)^2 = 9$ et non $-3^2 = -9$.
- Soustraire 4 : $9 - 4 = 5$.
Conseil pédagogique : Rappelez-vous que le carré d'un nombre, qu'il soit positif ou négatif, est toujours positif (dans l'ensemble des réels). L'oubli des parenthèses autour de $-3$ est l'erreur la plus fréquente constatée par les correcteurs du Brevet.

3. Modélisation littérale : Exprimer en fonction de $x$

Tom introduit la variable $x$. C'est le passage au calcul littéral. Pour le Programme A, on suit la logique : $(x - 5) \times x$. En utilisant la distributivité simple, on obtient $x \times x - 5 \times x$, soit $x^2 - 5x$. C'est exactement ce que l'énoncé nous demandait de démontrer. Pour le Programme B, la traduction est plus directe : mettre $x$ au carré donne $x^2$, puis soustraire 4 donne l'expression $x^2 - 4$.

4. Résolution de l'équation : Trouver l'inconnue

La dernière question est le point d'orgue de l'exercice : pour quel nombre $x$ les deux programmes donnent-ils le même résultat ? Cela revient à résoudre l'équation suivante :
$x^2 - 5x = x^2 - 4$.
À première vue, cette équation semble complexe car elle contient des termes au carré ($x^2$). Cependant, en soustrayant $x^2$ des deux côtés de l'égalité, les termes s'annulent :
$-5x = -4$.
On isole ensuite $x$ en divisant par $-5$ :
$x = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5} = 0,8$.
Tom cherche donc le nombre 0,8.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège est conceptuel : certains élèves pensent qu'ils ne peuvent pas résoudre une équation avec des $x^2$. Ici, la simplification est la clé. Le second piège est lié aux priorités opératoires dans le Programme A. Si l'on écrit $x - 5 \times x$ sans parenthèses sur sa copie, le calcul devient faux car la multiplication est prioritaire sur la soustraction. Il faut impérativement écrire $(x - 5)x$. Enfin, lors de la division finale, ne pas confondre $\frac{-5}{-4}$ et $\frac{-4}{-5}$. On divise toujours par le coefficient qui accompagne l'inconnue $x$.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

La mention 'Toute trace de recherche sera prise en compte' est une invitation à ne pas laisser de feuille blanche. Si vous n'arrivez pas à résoudre l'équation finale, montrez que vous avez au moins essayé de poser l'égalité. Pour la rédaction, utilisez des connecteurs logiques : 'D'une part', 'D'autre part', 'On en déduit que'. Présentez vos calculs de manière aérée. Pour les questions 1 et 2, détaillez bien chaque étape du programme de calcul comme nous l'avons fait ci-dessus. Cela permet au correcteur de comprendre votre cheminement même si une erreur de calcul s'est glissée dans le résultat final.

Conclusion

Cet exercice de Nouvelle-Calédonie 2020 est un excellent entraînement pour réviser la manipulation des expressions littérales. Il demande de la rigueur dans l'application des consignes et une bonne maîtrise des règles de résolution d'équations du premier degré. En maîtrisant ce type d'exercice, vous vous assurez une base solide de points pour l'épreuve de mathématiques.