Introduction aux fondamentaux du Brevet de Mathématiques

L'exercice 1 du sujet de Mathématiques du Brevet de la série Métropole 2020 se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est un incontournable de l'examen car il permet d'évaluer rapidement la maîtrise de plusieurs pans du programme de 3ème : les statistiques, les probabilités, l'arithmétique, la géométrie dans l'espace (volumes) et les transformations géométriques (homothéties). Dans cet exercice, l'élève doit faire preuve de précision et de rapidité, tout en évitant les pièges classiques de lecture. Bien qu'aucune justification ne soit demandée sur la copie, le travail au brouillon est indispensable pour garantir la justesse de la réponse choisie parmi les trois propositions.

Analyse Question 1 : La notion de médiane en statistiques

La première question porte sur la recherche d'une médiane au sein d'une série statistique brute : $10 ; 6 ; 2 ; 14 ; 25 ; 12 ; 22$. Le premier réflexe de tout élève face à une série de données doit être de l'ordonner par ordre croissant. En effet, la médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif. Sans rangement préalable, le calcul est faussé. Une fois rangée, la série devient : $2 ; 6 ; 10 ; 12 ; 14 ; 22 ; 25$. L'effectif total est de 7 (un nombre impair). La médiane correspond donc à la 4ème valeur : $\frac{7+1}{2} = 4$. Ici, la 4ème valeur est 12.

Analyse Question 2 : Calcul de probabilités simples

La deuxième question évalue la capacité à calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité (tirage d'une bille dans un sac opaque). Les billes sont indiscernables au toucher, ce qui garantit le hasard pur. La formule de base est $P(E) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de cas}}$. Ici, on cherche la probabilité de tirer une bille jaune. Le nombre de cas favorables est 60 (le nombre de billes jaunes). L'étape cruciale est le calcul de l'effectif total : $50 + 45 + 45 + 60 = 200$. La probabilité est donc de $60/200$. Pour obtenir une réponse décimale (proposée dans les choix), on simplifie la fraction : $6/20 = 3/10 = 0,3$.

Analyse Question 3 : Arithmétique et décomposition en facteurs premiers

Cette question demande d'identifier la décomposition en facteurs premiers de l'année 2020. Un facteur premier est un nombre qui n'est divisible que par 1 et par lui-même (2, 3, 5, 7, 11...). L'analyse des réponses proposées permet d'éliminer rapidement les mauvaises options. La réponse A ($2 \times 10 \times 101$) contient le nombre 10, qui n'est pas premier ($2 \times 5$). La réponse B ($5 \times 5 \times 101$) est incorrecte car son produit ne se termine pas par 0. La méthode rigoureuse consiste à diviser 2020 par les plus petits nombres premiers : $2020 = 2 \times 1010$, puis $1010 = 2 \times 505$, puis $505 = 5 \times 101$. 101 est un nombre premier. La réponse est donc $2 \times 2 \times 5 \times 101$.

Analyse Question 4 : Géométrie dans l'espace et formules de volumes

La connaissance par cœur des formules est un levier de réussite majeur. On interroge ici le volume d'une boule de rayon $R$. Les trois propositions testent la confusion entre périmètre, aire et volume. La proposition A ($2\pi R$) correspond au périmètre d'un cercle. La proposition B ($\pi R^2$) correspond à l'aire d'un disque. La dimension d'un volume implique une puissance cubique (longueur $\times$ longueur $\times$ longueur), soit $R^3$. La seule formule valide est donc $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Analyse Question 5 : Transformations et homothéties

La dernière question porte sur l'homothétie, une transformation qui modifie les distances tout en conservant les angles et l'alignement. Le paramètre clé est le rapport $k = -2$. Il faut connaître deux règles fondamentales : premièrement, si la valeur absolue du rapport est supérieure à 1 ($|-2| = 2 > 1$), alors la transformation est un agrandissement. Si elle est comprise entre 0 et 1, c'est une réduction. Deuxièmement, le signe négatif indique que l'image et l'objet sont de part et d'autre du centre de l'homothétie (un demi-tour est effectué). Puisque 2 est supérieur à 1, l'homothétie agrandit les longueurs.

Les Pièges à éviter

Pour la médiane, le piège est d'oublier de trier les chiffres. Pour les probabilités, attention à bien sommer toutes les billes pour le dénominateur. En arithmétique, ne confondez pas 'produit' et 'somme' et vérifiez que chaque nombre de la décomposition est bien premier. Enfin, pour les homothéties, ne vous laissez pas troubler par le signe moins : il n'influence pas le fait qu'il s'agisse d'un agrandissement ou d'une réduction, seul le chiffre lui-même compte pour la taille.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Même si cet exercice est un QCM sans justification, traitez chaque question au brouillon comme s'il fallait détailler le calcul. Reportez uniquement la lettre ou la réponse exacte sur votre copie en suivant scrupuleusement les consignes : 'indiquer le numéro de la question et recopier la réponse'. Ne perdez pas de temps à rédiger vos démonstrations, mais utilisez ce temps pour relire vos calculs de probabilités et vos rangements de séries statistiques.