Introduction à l'Algorithmique au Brevet

L'algorithmique et la programmation, souvent représentées par le logiciel Scratch, sont devenues des piliers de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). L'exercice 8 du sujet de Nouvelle-Calédonie 2020 est un modèle du genre : il demande de passer de la lecture de code à la production graphique. Maîtriser les blocs répéter, avancer et tourner est essentiel pour garantir des points facilement lors de l'examen. Cet exercice se concentre sur deux aspects majeurs : la construction de polygones réguliers et l'utilisation de variables pour créer des figures évolutives comme des spirales carrées.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Le Triangle Équilatéral

La première question demande de compléter un script pour tracer un triangle équilatéral de côté $80$ unités. Pour réussir cette partie, il faut comprendre le lien entre la géométrie plane et les commandes Scratch.

La boucle : Un triangle possède trois côtés égaux. La structure de répétition doit donc indiquer répéter 3 fois. C'est une erreur classique de confondre le nombre de répétitions avec le nombre de côtés déjà tracés.

L'avancement : L'énoncé précise un côté de $80$ unités. Le bloc avancer de ... doit donc être complété par la valeur $80$.

L'angle de rotation : C'est ici que réside la principale difficulté. Dans un triangle équilatéral, les angles intérieurs mesurent $60^\circ$. Cependant, le lutin Scratch tourne selon l'angle extérieur de la figure. Pour que le lutin effectue un tour complet ($360^\circ$) en trois étapes, il doit tourner de $360 / 3 = 120^\circ$. Ainsi, le bloc correct est tourner de 120 degrés. Si l'élève écrit $60^\circ$, il obtiendra un hexagone et non un triangle.

Analyse Méthodique de la Question 2 : La Spirale Carrée

La seconde question introduit une notion plus complexe : l'incrémentation d'une variable nommée longueur. Le script commence avec une longueur à $40$.

Fonctionnement du script : À chaque itération de la boucle (répétée 12 fois), le lutin avance de la valeur actuelle de la variable, tourne de $90^\circ$, puis augmente la valeur de longueur de $10$.

• Étape 1 : Avancer de $40$, tourner, longueur devient $50$.
• Étape 2 : Avancer de $50$, tourner, longueur devient $60$.
• Étape 3 : Avancer de $60$, tourner, longueur devient $70$.

Ce processus crée une figure où chaque segment est plus long que le précédent, formant ce qu'on appelle une spirale rectangulaire ou carrée. En observant les propositions : - La Figure 1 montre une spirale avec de nombreux segments qui s'écartent progressivement du centre. C'est la représentation fidèle de 12 répétitions. - La Figure 2 semble s'arrêter prématurément ou possède moins de tours. - La Figure 3 présente des angles qui ne sont pas de $90^\circ$, ce qui contredit le bloc tourner de 90 degrés.

La réponse correcte est donc la Figure 1.

Les Pièges à Éviter

1. L'angle intérieur vs extérieur : Rappelez-vous toujours que le lutin tourne par rapport à sa direction actuelle. Pour un polygone régulier à $n$ côtés, l'angle de rotation est toujours $360/n$.

2. L'ordre des blocs : Dans la spirale, si le bloc ajouter 10 à longueur était placé avant le bloc avancer, le premier segment mesurerait $50$ et non $40$. L'ordre des instructions est crucial en programmation.

3. L'orientation initiale : Le bloc s'orienter à 90 place le lutin vers la droite. C'est le point de départ de tout tracé géométrique standard sur Scratch.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'entourer la figure ou de remplir les cases. Sur votre copie, expliquez brièvement votre raisonnement. Par exemple : "Pour le triangle, j'ai utilisé une rotation de $120^\circ$ car $360/3 = 120$." Pour la figure 1, précisez : "La Figure 1 correspond car elle montre une augmentation constante de la longueur des segments à chaque angle droit, ce qui correspond au bloc ajouter 10 à longueur." Une justification, même courte, montre au correcteur que vous n'avez pas répondu au hasard.