Introduction aux notions du sujet Antilles 2020

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2020 (Zone Antilles-Guyane) est une synthèse parfaite des attendus du cycle 4. Il combine trois piliers majeurs du programme de troisième : les probabilités, l'arithmétique (nombres premiers) et l'algorithmique via l'environnement Scratch. L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une expérience aléatoire à deux épreuves et à traduire ce modèle en langage de programmation par blocs.

Analyse Thématique 1 : Les Probabilités et l'Arithmétique

L'expérience consiste en deux tirages successifs et indépendants. L'urne bleue contient les boules $\{2, 3, 4\}$ et l'urne rouge contient $\{2, 3, 4, 5\}$. La première étape cruciale est de déterminer l'univers des possibles (noté $\Omega$). Puisque nous tirons une boule dans chaque urne, le nombre total d'issues est de $3 \times 4 = 12$ couples possibles.

Analyse de la Question 1 : Événements et Nombres Premiers

L'exercice introduit la notion de nombres premiers. Rappelons qu'un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Dans nos urnes, les nombres premiers sont $2, 3$ et $5$. L'unité $1$ n'est pas première, et $4$ est composé ($2 \times 2$).

• La somme est égale à 12 : C'est un événement impossible. En effet, le tirage maximum est $(4 ; 5)$, ce qui donne une somme de $4 + 5 = 9$. Comme $9 < 12$, la somme $12$ ne peut jamais être atteinte.
• Obtenir deux nombres premiers : C'est un événement possible. Par exemple, le tirage $(2 ; 3)$ est constitué de deux nombres premiers.

Pour calculer la probabilité d'obtenir deux nombres premiers, listons les cas favorables : $(2 ; 2), (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2), (3 ; 3), (3 ; 5)$. Il y a $6$ issues favorables. La probabilité est donc $P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ soit $0,5$ ou $50\%$.

Analyse de la Question 2 : La probabilité d'un double

Un « double » signifie que le numéro de la boule bleue est identique à celui de la boule rouge. Les couples possibles sont $(2 ; 2), (3 ; 3)$ et $(4 ; 4)$. Notez que $(5 ; 5)$ est impossible car la boule $5$ n'existe pas dans l'urne bleue. Nous avons $3$ cas favorables sur un total de $12$. La probabilité est $P = \frac{3}{12}$. En simplifiant la fraction par $3$, on obtient bien $\frac{1}{4}$ (soit $0,25$).

Analyse Thématique 2 : Algorithmique et Simulation Scratch

La simulation est un outil puissant pour vérifier des probabilités théoriques sur un grand nombre d'essais (loi des grands nombres). Ici, on simule $1000$ tirages.

• Variables A, B et C : La variable $A$ représente le nombre de répétitions de la boucle, soit $1000$. La variable $B$ correspond à la valeur maximale de la boule bleue, soit $4$ (puisque les boules vont de $2$ à $4$). La variable $C$ correspond à la valeur maximale de la boule rouge, soit $5$.
• Placement des blocs : Le bloc « Tirer deux boules » doit être placé à l'intérieur de la boucle « répéter », juste avant le test « si... alors ». Sans cela, les variables ne changent jamais de valeur à chaque tour de boucle.
• Initialisation : Le bloc « mettre Nombre de doubles à 0 » doit impérativement être placé avant le début de la boucle. Si on le mettait à l'intérieur, le compteur redescendrait à zéro à chaque itération, et si on le mettait après, on ne pourrait pas incrémenter le score.
• Fréquence : La fréquence se calcule par le rapport $\frac{\text{Nombre de succès}}{\text{Nombre total d'essais}}$. La proposition $\textcircled{2}$ (Nombre de doubles / 1000) est donc la seule correcte.

Les Pièges à éviter

Attention à la confusion classique sur les nombres premiers : le chiffre $4$ n'est pas premier car il est divisible par $2$. Autre piège : dans la simulation Scratch, ne pas oublier que l'urne bleue s'arrête à $4$. Si vous mettez $B=5$, vous faussez totalement la simulation car vous introduisez une boule inexistante. Enfin, veillez à bien distinguer probabilité (théorique) et fréquence (issue de l'expérience).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points : 1. Justifiez toujours vos probabilités en montrant le rapport $\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$. 2. Listez explicitement les issues pour prouver votre raisonnement (ex: "Les doubles sont (2;2), (3;3), (4;4)"). 3. Pour Scratch, utilisez le vocabulaire précis : boucle, variable, incrémentation, test conditionnel.