Introduction aux algorithmes et au calcul littéral au Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques de Nouvelle-Calédonie 2020 est un classique incontournable du Brevet des collèges. Il mêle deux thématiques majeures du programme de troisième : l'algorithmique (via Scratch) et le calcul littéral. Cet exercice demande de comprendre comment un script informatique transforme une donnée d'entrée, appelée variable, en un résultat final par une succession d'opérations. L'enjeu ici est de savoir traduire des blocs de programmation visuels en expressions algébriques rigoureuses. Nous allons aborder les notions de variables, d'affectation, de développement d'expressions et surtout la résolution d'équations-produits nuls, une compétence phare du Cycle 4.

Décryptage du script Scratch pas à pas

Le script commence par une initialisation classique : l'utilisateur choisit une valeur pour la variable $x$. Ensuite, le programme utilise trois variables distinctes pour stocker des résultats intermédiaires : $x$, Étape 1 et Étape 2. Analyser un tel script demande de la rigueur. La commande 'mettre Étape 1 à $x + 4$' signifie que la valeur contenue dans $x$ est augmentée de 4. Immédiatement après, la commande 'mettre Étape 2 à $2 * x - 3$' effectue un doublement de la valeur initiale de $x$ suivi d'une soustraction. Enfin, le bloc 'dire' réalise le produit de ces deux étapes. Il est crucial de comprendre que le script ne modifie pas la valeur de $x$ au cours du processus, mais crée de nouvelles valeurs dépendantes de celle-ci.

Question 1 : Vérification numérique et logique de variable

Pour vérifier que si $x = 5$ alors le résultat est 63, l'élève doit simuler l'exécution du script de manière séquentielle.
1. On commence avec $x = 5$.
2. On calcule l'Étape 1 : $5 + 4 = 9$.
3. On calcule l'Étape 2 : $(2 \times 5) - 3 = 10 - 3 = 7$.
4. Le résultat final est le produit de l'Étape 1 par l'Étape 2 : $9 \times 7 = 63$.
Cette question est dite 'de mise en confiance'. Elle permet de s'assurer que le fonctionnement global de l'algorithme est compris avant d'aborder des phases plus abstraites. La rédaction doit être claire : décomposez chaque étape pour montrer au correcteur que vous suivez la logique informatique.

Question 2 : La gestion des nombres relatifs dans un programme

La deuxième question demande de calculer le résultat pour $x = -3$. C'est ici que les erreurs de signes apparaissent fréquemment. Reprenons la structure :
1. Valeur d'entrée : $x = -3$.
2. Étape 1 : $(-3) + 4 = 1$.
3. Étape 2 : $2 \times (-3) - 3 = -6 - 3 = -9$.
4. Résultat final : $1 \times (-9) = -9$.
L'erreur classique consiste à oublier que multiplier un nombre négatif par un positif donne un résultat négatif, ou de se tromper lors de la soustraction $-6 - 3$. Un entraînement régulier sur les priorités opératoires et les relatifs est essentiel pour ne pas perdre de points bêtement sur cette partie.

Question 3 : Du bloc Scratch à l'expression algébrique

Ici, il s'agit de modéliser le programme par une expression littérale. C'est le pont entre l'informatique et les mathématiques pures.
- L'Étape 1 correspond à l'expression $(x + 4)$.
- L'Étape 2 correspond à l'expression $(2x - 3)$.
- Le script multiplie ces deux résultats. L'expression correcte est donc $A = (x + 4) \times (2x - 3)$.
Pourquoi les autres sont-elles fausses ? L'expression $B = x + 4 \times 2x - 3$ ne respecte pas la hiérarchie des opérations demandée par les blocs Scratch (la multiplication s'appliquerait seulement à $4$ et $2x$ selon les priorités opératoires classiques). L'expression $C = x + 4 \times (2x - 3)$ oublie les parenthèses autour de la première étape. Cette question teste votre capacité à utiliser les parenthèses pour forcer l'ordre des calculs tel qu'il est défini par le script visuel.

Question 4 : Résoudre une équation-produit nul

La question finale demande pour quelle(s) valeur(s) de $x$ le résultat est nul. Cela revient à résoudre l'équation : $(x + 4)(2x - 3) = 0$.
C'est une équation-produit nul. La règle fondamentale est la suivante : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
On a donc deux cas possibles :
1. $x + 4 = 0$, ce qui donne $x = -4$.
2. $2x - 3 = 0$, ce qui donne $2x = 3$, soit $x = 1,5$.
L'élève doit impérativement citer la propriété du produit nul dans sa copie pour obtenir l'intégralité des points. Les solutions sont donc $-4$ et $1,5$. Cette question est le sommet de l'exercice et valide la maîtrise du calcul littéral de fin de collège.

Les pièges classiques à éviter le jour J

Parmi les erreurs fréquentes observées par les professeurs, on note :
1. L'oubli des parenthèses : Lors du passage de Scratch au calcul littéral, les blocs 'Étape 1' et 'Étape 2' agissent comme des blocs insécables. En mathématiques, cela se traduit par des parenthèses obligatoires.
2. Erreur de calcul sur les relatifs : Comme vu en question 2, le traitement de $2 \times (-3)$ peut être source de stress. Prenez votre temps.
3. Confusion entre 'résoudre' et 'tester' : En question 4, certains élèves essaient des nombres au hasard. Ce n'est pas une méthode acceptable. Il faut utiliser la technique de l'équation-produit.
4. Lien entre script et texte : Parfois, les élèves ne voient pas que la question 3 aide directement à résoudre la question 4.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour séduire le correcteur, présentez vos calculs en colonnes. Utilisez des connecteurs logiques comme 'D'une part... d'autre part...' ou 'On en déduit que...'. Pour l'algorithmique, n'hésitez pas à recopier les noms des variables pour montrer votre compréhension du script. Enfin, vérifiez toujours vos solutions d'équations en les réinjectant dans le programme de départ. Par exemple, si vous trouvez $x = -4$, vérifiez mentalement : $(-4 + 4) = 0$, donc le produit sera forcément $0$. Votre résultat est cohérent !