Introduction aux Probabilités au Brevet

L'exercice 4 du sujet de Polynésie 2020 est un classique incontournable pour tout élève de troisième préparant son Diplôme National du Brevet. Il porte sur les probabilités, un domaine des mathématiques qui permet de quantifier le hasard. Dans cet énoncé, nous suivons Jean, un collectionneur possédant 365 albums de bandes dessinées (BD), répartis en trois catégories distinctes : les séries franco-belges, les comics et les mangas. La maîtrise de cet exercice nécessite de savoir lire un tableau de données, de comprendre la notion d'équiprobabilité et de manipuler des fractions simples.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Pour aborder sereinement ce problème, la première étape consiste à identifier le nombre total d'issues possibles. Ici, Jean choisit un album au hasard parmi sa collection complète. Le nombre total d'albums est de $365$. Comme le choix se fait au hasard, chaque album a la même probabilité d'être choisi : nous sommes dans une situation d'équiprobabilité. La formule fondamentale à appliquer est : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}$.

Question 1 : Calculs de probabilités par catégories

a) Probabilité de tirer un "Lucky-Luke" : Il suffit de lire le tableau pour trouver l'effectif associé à cette série. On compte $45$ albums de "Lucky-Luke". La probabilité est donc de $\frac{45}{365}$. Pour une rédaction parfaite, on peut simplifier cette fraction en divisant par $5$, ce qui donne $\frac{9}{73}$.

b) Probabilité que l'album soit un comics : Ici, l'événement est composé de deux séries : "Batman" ($35$ albums) et "Spider-Man" ($90$ albums). L'effectif total des comics est donc de $35 + 90 = 125$. La probabilité recherchée est $\frac{125}{365}$, soit $\frac{25}{73}$ après simplification.

c) Probabilité que l'album ne soit pas un manga : C'est ce qu'on appelle un événement contraire. Il existe deux méthodes pour le calculer. La première consiste à sommer les albums franco-belges et les comics. La seconde, souvent plus rapide, consiste à calculer $1 - P(\text{manga})$. Le nombre de mangas est de $85 + 65 = 150$. La probabilité d'avoir un manga est $\frac{150}{365}$. La probabilité de ne pas en avoir est donc $1 - \frac{150}{365} = \frac{215}{365}$, ce qui se simplifie en $\frac{43}{73}$.

Question 2 : Probabilités liées à la numérotation

Cette partie de l'exercice est plus subtile car elle demande de réfléchir sur l'ensemble des séries. On nous précise que chaque série est complète du numéro 1 au dernier numéro indiqué.

a) Probabilité que l'album porte le numéro 1 : Chaque série possède exactement un exemplaire portant le numéro 1. Il y a 3 séries franco-belges (Astérix, Tintin, Lucky-Luke), 2 séries de comics (Batman, Spider-Man) et 2 séries de mangas (One-Piece, Naruto). Au total, il y a $3 + 2 + 2 = 7$ albums portant le numéro 1. La probabilité est donc $\frac{7}{365}$.

b) Probabilité que l'album porte le numéro 40 : C'est ici que l'analyse des données est cruciale. Un album porte le numéro 40 seulement si sa série contient au moins 40 albums. Vérifions chaque série :
- Astérix : 23 albums (Pas de n°40)
- Tintin : 22 albums (Pas de n°40)
- Lucky-Luke : 45 albums (Contient un n°40)
- Batman : 35 albums (Pas de n°40)
- Spider-Man : 90 albums (Contient un n°40)
- One-Piece : 85 albums (Contient un n°40)
- Naruto : 65 albums (Contient un n°40)
Il y a donc 4 séries qui possèdent un album numéro 40. La probabilité est de $\frac{4}{365}$.

Les Pièges à éviter

L'erreur la plus fréquente lors des examens est de se tromper dans le calcul de l'effectif total. Toujours vérifier que la somme des albums donnés dans le tableau correspond bien au total annoncé (ici $23+22+45+35+90+85+65 = 365$). Un autre piège réside dans la lecture de la question 2b : beaucoup d'élèves oublient de vérifier si chaque série atteint ou non le nombre 40.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement la formule de probabilité au moins une fois.
2. Présentez vos résultats sous forme de fractions irréductibles (ou à défaut, donnez la valeur exacte).
3. Faites une phrase de conclusion claire qui répond à la question posée.
4. Ne confondez pas 'nombre d'albums' et 'probabilité'. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

Conclusion pédagogique

Travailler sur cet exercice permet de renforcer la compétence 'Traiter des données', essentielle pour le cycle 4. Les probabilités au collège ne sont pas complexes si l'on est rigoureux dans le dénombrement des cas favorables. Cet exercice de 2020 montre bien que le contexte (ici la collection de BD) sert souvent à tester la capacité de l'élève à extraire des informations d'un tableau pour les transformer en modèle mathématique.