Introduction aux notions du Brevet : Transformations et Arithmétique

Cet exercice issu du sujet du Brevet des Antilles-Guyane de 2020 est un modèle de polyvalence. Il mobilise deux piliers majeurs du programme de mathématiques de 3ème : la géométrie plane avec les transformations (symétrie centrale, rotation et translation) et l'arithmétique appliquée à des problèmes concrets de pavage. Comprendre comment un motif se déplace dans un repère ou comment diviser une surface rectangulaire en carrés parfaits sans reste est essentiel pour décrocher une mention au DNB. L'objectif ici est de valider votre capacité à identifier des mouvements géométriques visuellement et à justifier des calculs de divisibilité.

Analyse Méthodique : Question 1 - Les transformations au cœur du carré

Dans la première partie, on nous présente un carré ABCD de centre O, découpé en quatre zones superposables. C'est un exercice d'observation pure qui demande de bien maîtriser le vocabulaire technique.

1.a. La symétrie centrale : On cherche l'image du polygone ① par la symétrie centrale de centre O. Rappelons qu'une symétrie centrale correspond à un demi-tour (180°) autour du point pivot. Si l'on fait pivoter le polygone ① de 180° autour de O, il vient se superposer exactement sur le polygone ③. L'image est donc le polygone ③.

1.b. La rotation : On nous demande l'image du polygone ④ par la rotation de centre O qui transforme ① en ②. D'abord, analysons cette rotation : pour passer de ① à ②, le motif subit un quart de tour (90°) dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre). En appliquant ce même mouvement au polygone ④, celui-ci vient se loger à la place du polygone ①. La réponse est donc le polygone ①. Il est crucial ici de bien identifier le sens et l'angle de la rotation initiale avant de l'appliquer à la deuxième figure.

Analyse Méthodique : Question 2 - Le pavage et la translation

La deuxième question introduit la notion de pavage. Un pavage est une répétition d'un motif (ici le carré ABCD) qui recouvre tout le plan sans laisser de vide ni de chevauchement. On nous demande quelle transformation permet de passer du polygone ① au polygone ⑤.

En observant la figure globale, on remarque que le polygone ⑤ est identique au polygone ①, mais il a été "glissé" vers la droite. En géométrie, ce glissement sans déformation ni rotation s'appelle une translation. Pour être précis, on pourrait dire qu'il s'agit de la translation qui transforme le point A en le point B (ou qui déplace le motif d'une longueur de côté de carré vers la droite). Cette vision globale du plan est fondamentale pour comprendre comment les motifs répétitifs fonctionnent dans le design ou l'architecture.

Analyse Méthodique : Question 3 - L'arithmétique appliquée au tissu

Cette partie bascule sur le calcul numérique et la logique de division. On dispose d'un tissu de $315$ cm sur $270$ cm. L'enjeu est de savoir si on peut le recouvrir avec des carrés de $9$ cm de côté.

3.a. Justification de la divisibilité : Pour que le tissu soit entièrement recouvert sans découpe, il faut que la longueur du côté du carré ($9$ cm) soit un diviseur commun à la longueur ($315$ cm) et à la largeur ($270$ cm) du tissu. Utilisons les critères de divisibilité par $9$ (la somme des chiffres doit être un multiple de $9$) :
- Pour $315$ : $3 + 1 + 5 = 9$. Comme $9$ est divisible par $9$, alors $315$ l'est aussi ($315 \div 9 = 35$).
- Pour $270$ : $2 + 7 + 0 = 9$. De même, $270$ est divisible par $9$ ($270 \div 9 = 30$).
On peut donc effectivement choisir des carrés de $9$ cm de côté car $9$ divise à la fois $315$ et $270$.

3.b. Calcul du nombre de motifs : Pour trouver le nombre total de carrés imprimés, on multiplie le nombre de carrés logeables en longueur par le nombre de carrés logeables en largeur.
Calcul : $35 \times 30 = 1050$.
Il y aura donc $1050$ carrés de $9$ cm de côté imprimés sur le tissu. On aurait aussi pu diviser l'aire totale du tissu ($315 \times 270$) par l'aire d'un carré ($9 \times 9$), mais la méthode par décompte des rangées est souvent plus simple et limite les erreurs de calcul sur de grands nombres.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre symétrie axiale (effet miroir) et symétrie centrale (demi-tour). Dans cet exercice, une symétrie axiale par rapport à une médiatrice du carré aurait donné des résultats différents. Autre point de vigilance : en arithmétique, assurez-vous de bien citer le critère de divisibilité ou d'effectuer la division euclidienne pour prouver que le reste est nul. Ne vous contentez pas de dire "ça marche", montrez-le par le calcul ! Enfin, n'oubliez pas que pour la question 3.b, multiplier $315$ par $270$ sans diviser par $81$ ($9^2$) est une erreur classique ; on cherche un nombre de carrés (surface), pas une longueur.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre vocabulaire. Utilisez les mots : "image", "centre", "angle", "sens horaire", "translation", "diviseur". Pour la question 3, rédigez une phrase claire : "Puisque 9 est un diviseur de 315 et de 270, il est possible de recouvrir le rectangle sans découpe". Une présentation propre, avec des calculs posés ou clairement explicités, rassure le correcteur sur votre maîtrise du raisonnement logique.