Introduction aux notions du Brevet 2020

Cet exercice issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2020 est un classique du Brevet des Collèges. Il se présente sous la forme d'un QCM à justifications, un format très fréquent qui évalue la capacité de l'élève à mobiliser rapidement plusieurs compétences transversales. Nous allons aborder ici trois piliers du programme de 3ème : les fonctions (calcul d'image), la géométrie plane (théorème de Thalès et sa réciproque) et enfin les rotations liées aux polygones réguliers. L'objectif est de démontrer la véracité ou la fausseté d'affirmations précises en utilisant une rédaction rigoureuse.

Analyse de l'Affirmation 1 : La notion de fonction

La première donnée nous présente une fonction affine : $f(x) = 2(x - 3)$. On nous demande de vérifier si l'image de 5 est 4. En mathématiques, calculer l'image d'un nombre par une fonction revient à remplacer la variable $x$ par ce nombre dans l'expression littérale. Ici, nous devons donc calculer $f(5)$. Le raisonnement est le suivant : $f(5) = 2(5 - 3)$. En respectant les priorités opératoires, on calcule d'abord la parenthèse : $5 - 3 = 2$. Ensuite, on multiplie par le coefficient : $2 \times 2 = 4$. L'affirmation est donc VRAIE. Pour réussir ce type de question, il est crucial de ne pas confondre 'image' et 'antécédent'. Si l'on vous avait demandé l'antécédent de 4, il aurait fallu résoudre l'équation $2(x - 3) = 4$.

Analyse de l'Affirmation 2 : Puissance et conversion d'unités

La deuxième partie traite de l'énergie et des grands nombres. Nous avons 84 éoliennes produisant chacune $256 000$ Watts. Le calcul de la production totale est une simple multiplication : $84 \times 256 000 = 21 504 000$ Watts. La question porte sur la conversion en mégawatts (MW). Il faut savoir que $1 \text{ MW} = 10^6 \text{ W}$ (soit un million de Watts). En décalant la virgule de six rangs vers la gauche, nous obtenons $21,504$ MW. L'affirmation propose une valeur environ égale à $21,5$ MW. L'affirmation est donc VRAIE. Ce type d'exercice teste votre aisance avec la notation scientifique et les préfixes du système international (kilo, méga, giga).

Analyse de l'Affirmation 3 : Réciproque du théorème de Thalès

Ici, nous entrons dans la géométrie pure avec une configuration 'papillon'. Les droites (AD) et (CB) se coupent en E. Pour savoir si (AB) et (CD) sont parallèles, nous devons tester l'égalité des rapports de longueurs (la réciproque de Thalès). Les points C, E, B d'une part et D, E, A d'autre part sont alignés dans le même ordre. Calculons séparément les rapports : $\frac{EC}{EB}$ et $\frac{ED}{EA}$. Attention, une erreur fréquente consiste à mélanger les segments. Ici, nous avons $EC = 1,6$ et $ED = 1,2$, $EA = 2,8$. Il nous manque $EB$ dans l'énoncé textuel, mais il est souvent déductible ou donné sur le schéma. Si le rapport $\frac{1,6}{EB}$ est égal à $\frac{1,2}{2,8}$, alors les droites sont parallèles. En faisant le produit en croix, si $1,6 \times 2,8 = 1,2 \times EB$, la condition est remplie. Sans la valeur de EB, l'élève doit analyser la figure avec précision. Si les rapports diffèrent, l'affirmation est FAUSSE.

Analyse de l'Affirmation 4 : Rotation et polygones réguliers

Un pentagone régulier est une figure à 5 côtés égaux dont les sommets sont inscrits dans un cercle. Pour trouver l'angle au centre entre deux sommets consécutifs, on divise la circonférence totale ($360^\circ$) par le nombre de sommets : $360 / 5 = 72^\circ$. L'affirmation prétend que l'angle de la rotation de centre A transformant C en D est de $60^\circ$. Or, dans un pentagone régulier décomposé en triangles comme ici, l'angle au centre (ou l'angle de rotation entre deux sommets adjacents) est de $72^\circ$. Par conséquent, $60^\circ$ est une valeur incorrecte. L'affirmation est donc FAUSSE. Pensez toujours à vérifier le nombre de côtés : $360/6 = 60^\circ$ correspondrait à un hexagone, pas à un pentagone.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

1. La justification est obligatoire : Sur un exercice de ce type, écrire 'Vrai' ou 'Faux' sans calcul ou propriété ne rapporte aucun point. 2. Précision des unités : Pour l'affirmation sur les éoliennes, n'oubliez pas de mentionner l'équivalence Watts/Mégawatts. 3. Rédaction Géométrique : Pour Thalès, citez toujours l'alignement des points et le nom du théorème ou de sa réciproque. 4. Calculs de fonctions : Attention aux signes négatifs ! Si $x$ avait été négatif, le calcul de $f(x)$ aurait nécessité une vigilance accrue sur les parenthèses.

Conclusion pour réussir l'épreuve

Maîtriser ces trois domaines (Algèbre, Grandeurs et Mesures, Géométrie) assure une base solide de points au Brevet. L'astuce est de rester calme face aux figures complexes et de décomposer chaque problème en étapes simples : Identifier les données, choisir la formule, calculer, et conclure par une phrase claire.