Introduction aux concepts de géométrie et trigonométrie

Cet exercice, issu de la session 2020 du Brevet en Nouvelle-Calédonie, est une excellente application concrète des mathématiques de 3ème. Il combine la géométrie plane classique avec la trigonométrie, tout en sollicitant une compétence transversale majeure du programme : la prise d'initiatives. L'élève est ici placé dans une situation de modélisation réelle : vérifier la conformité d'un bassin d'aquaculture. Les tags imposés (Géométrie plane, Trigonométrie, Prise d'initiatives) soulignent que la résolution ne repose pas sur une simple application de formule, mais nécessite une analyse préalable de la figure pour extraire les données pertinentes et construire un raisonnement logique.

Analyse Méthodique de l'exercice

Pour aborder cet exercice, il faut d'abord décrypter le schéma fourni. Nous sommes en présence d'un trapèze rectangle schématisant le bassin, mais pour appliquer la trigonométrie, nous devons impérativement identifier un triangle rectangle. La question porte sur l'angle $\widehat{\text{EBA}}$.

1. Identification du triangle de travail : En observant la figure, on constate que le segment $[AB]$ représente l'horizontale (le fond plat théorique ou la ligne de référence) et $[AC]$ représente la verticale (la paroi). Puisque $[AC]$ est perpendiculaire à $[AB]$, le triangle $EAB$ est rectangle en $A$. C'est une étape cruciale de la prise d'initiative : il faut déduire de l'énoncé que l'angle $\widehat{\text{EAB}}$ est un angle droit.

2. Calcul de la longueur manquante : Pour calculer l'angle $\widehat{\text{EBA}}$ dans le triangle $EAB$, nous avons besoin de deux longueurs. Nous connaissons déjà $AB = 150$~m (le côté adjacent à l'angle recherché). Il nous manque le côté opposé, le segment $[AE]$. L'énoncé nous donne $CE = 2,8$~m et $CA = 3,2$~m. Par soustraction de segments (puisque $E$ appartient à $[AC]$), on obtient : $AE = CA - CE = 3,2 - 2,8 = 0,4$~m. Cette petite étape est souvent le point de blocage des élèves qui cherchent à utiliser directement les valeurs de l'énoncé sans les transformer.

3. Choix de la relation trigonométrique : Nous avons le côté opposé ($AE = 0,4$) et le côté adjacent ($AB = 150$). Dans le formulaire SOH CAH TOA, c'est la Tangente qui lie ces deux mesures : $\tan(\widehat{\text{EBA}}) = \frac{AE}{AB}$.

4. Calcul final : En remplaçant par les valeurs, on a $\tan(\widehat{\text{EBA}}) = \frac{0,4}{150}$. À l'aide de la calculatrice, en utilisant la fonction $\arctan$ ou $\text{tan}^{-1}$, on trouve : $\widehat{\text{EBA}} \approx 0,1527\dots\degres$.

Les Pièges à éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice consiste à utiliser la mauvaise longueur pour le côté opposé. De nombreux élèves tentent de faire le calcul avec $CE$ ou $CA$, oubliant que le triangle rectangle pertinent s'arrête au point $E$, là où commence la pente. Un autre piège réside dans le réglage de la calculatrice. Assure-toi qu'elle est bien en mode Degrés et non en Radians ou Gradians, sinon ton résultat sera totalement incohérent par rapport à la plage $0,1 - 0,2$. Enfin, ne néglige pas l'interprétation finale : il ne suffit pas de donner l'angle, il faut conclure explicitement si le bassin est bien construit ou non. Ici, $0,1 < 0,15 < 0,2$, donc le bassin respecte les normes.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

La rédaction est la clé pour obtenir l'intégralité des points, surtout pour la compétence "Prise d'initiative". Voici la structure idéale :
1. Préciser le cadre : Commence par dire "Dans le triangle $EAB$ rectangle en $A$...".
2. Détailler les calculs intermédiaires : Montre clairement comment tu obtiens $AE = 0,4$~m.
3. Énoncer la formule littérale : Écris $\tan(\widehat{\text{EBA}}) = \frac{AE}{AB}$ avant de passer aux chiffres. Cela montre au correcteur que tu maîtrises le cours.
4. Conclure avec précision : Termine par une phrase de comparaison : "Comme $0,1 < 0,15 < 0,2$, l'angle est conforme aux attentes. Le bassin est donc bien construit.". N'oublie pas que même si ta recherche est incomplète, note tes idées sur la copie : elles sont valorisées dans ce type d'exercice !