Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice issu du Brevet de Mathématiques 2020 (session Nouvelle-Calédonie) est un modèle de polyvalence. Il regroupe les piliers du programme de 3ème : la géométrie plane avec les théorèmes de Thalès et Pythagore, la trigonométrie, ainsi que la gestion des grandeurs physiques via la vitesse moyenne et les durées. Pour réussir ce type d'exercice, il ne suffit pas de connaître ses formules, il faut savoir identifier la bonne configuration au bon moment. L'énoncé présente une figure complexe combinant deux triangles liés par un sommet commun, une configuration classique dite en 'papillon' ou 'croisée'.

Analyse Question 1 : Le Théorème de Thalès

La première question demande de calculer la longueur $DE$. L'indice crucial est la mention des droites parallèles $(AB)$ et $(DE)$. Lorsque deux droites parallèles sont coupées par deux sécantes (ici $(AE)$ et $(BD)$ se coupant en $C$), on applique le théorème de Thalès. Le raisonnement doit être rigoureux : on cite les droites sécantes, les droites parallèles, puis on écrit l'égalité des trois rapports. Dans ce cas précis : $\frac{CB}{CD} = \frac{CA}{CE} = \frac{AB}{DE}$. En utilisant les valeurs fournies $AB = 400$, $BC = 500$, et $CD = 700$, on isole $DE = \frac{AB \times CD}{BC}$. Le calcul donne $DE = \frac{400 \times 700}{500} = 560$. Conseil : Vérifiez toujours la cohérence visuelle de votre résultat sur la figure.

Analyse Question 2 : La Réciproque du Théorème de Pythagore

Il s'agit ici de démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle. Attention, on ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore directement car on ne sait pas encore que l'angle est droit. Il faut utiliser la réciproque ou la contraposée. On compare séparément le carré du côté le plus long ($BC^2 = 500^2 = 250\,000$) et la somme des carrés des deux autres côtés ($AB^2 + AC^2 = 400^2 + 300^2 = 160\,000 + 90\,000 = 250\,000$). Puisque $BC^2 = AB^2 + AC^2$, l'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. La clarté de la rédaction est ici fondamentale pour obtenir le maximum de points.

Analyse Question 3 : Utilisation de la Trigonométrie

Pour calculer l'angle $\widehat{ABC}$, plusieurs options s'offrent à nous puisque nous connaissons les trois côtés du triangle rectangle. On peut utiliser le sinus, le cosinus ou la tangente. Par exemple, avec le sinus : $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{BC} = \frac{300}{500} = 0,6$. À l'aide de la calculatrice (touche $Arcsin$ ou $\sin^{-1}$), on trouve environ $36,86^\circ$. L'énoncé demande un arrondi au degré près, la réponse attendue est donc $37^\circ$. N'oubliez pas de vérifier que votre calculatrice est bien en mode 'Degré'.

Analyse Questions 4 et 5 : Proportionnalité, Durées et Vitesses

La seconde partie de l'exercice bascule sur les grandeurs composées. Pour la question 4, la distance totale se calcule par une simple multiplication : $5 \times 2880 = 14\,400$ mètres, soit $14,4$ km. La question 5 est souvent la plus difficile pour les élèves car elle nécessite une conversion de temps. Maltéo met $1$ h $48$ min. Pour calculer une vitesse en km/h, il est préférable de convertir ce temps en heures décimales ou en minutes totales. $1$ h $48$ min correspond à $60 + 48 = 108$ minutes. La vitesse $V$ est égale à la distance divisée par le temps ($V = \frac{D}{T}$). Si l'on travaille en km/min : $V = \frac{14,4}{108} \approx 0,133$ km/min. Pour repasser en km/h, on multiplie par $60$ : $0,133 \times 60 = 8$ km/h. On peut aussi convertir $108$ min en heures : $108 / 60 = 1,8$ h. Alors $V = \frac{14,4}{1,8} = 8$ km/h.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal réside dans la confusion entre le théorème de Pythagore (calcul de longueur) et sa réciproque (preuve de l'angle droit). De même, pour Thalès, assurez-vous de bien faire correspondre les sommets des triangles homothétiques : le point $C$ est le pivot. Enfin, pour les vitesses, ne commettez jamais l'erreur de dire que $1$ h $48$ min égale $1,48$ h ! Le système horaire est sexagésimal (base 60) et non décimal.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, structurez vos réponses : 1. Enoncer les propriétés ou théorèmes utilisés. 2. Présenter les calculs clairement. 3. Conclure par une phrase répondant précisément à la question. En géométrie, l'utilisation de connecteurs logiques comme 'Or', 'Donc', 'D'après' valorise votre copie auprès du correcteur.