Introduction aux notions du Brevet 2014 (Caledonie)

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges 2014 en Nouvelle-Calédonie, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est particulièrement stratégique pour l'examen national, car il permet de tester une grande variété de compétences en un minimum de temps : la géométrie plane avec le théorème de Thalès, le calcul algébrique élémentaire, ainsi que l'analyse de fonctions par lecture graphique. Les thèmes abordés ici — QCM, Thalès, Calcul numérique, Fonctions et Lecture graphique — constituent le socle fondamental du programme de Mathématiques de 3ème.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Géométrie et Théorème de Thalès

La première question nous interroge sur le parallélisme de deux droites (FM) et (RP) au sein d'une configuration en « papillon » ou en triangles emboîtés. Pour répondre, il faut impérativement mobiliser la réciproque du théorème de Thalès. L'énoncé nous donne les longueurs suivantes : $KF = 3$, $KR = 9$, $KM = 4$ et $KP = 12$.

La méthode consiste à calculer et comparer les rapports des longueurs des côtés correspondants. Nous calculons d'une part $\frac{KF}{KR} = \frac{3}{9}$. En simplifiant cette fraction par 3, nous obtenons $\frac{1}{3}$. D'autre part, nous calculons le rapport $\frac{KM}{KP} = \frac{4}{12}$. En simplifiant par 4, nous obtenons également $\frac{1}{3}$. Puisque les points K, F, R d'une part et K, M, P d'autre part sont alignés dans le même ordre et que les rapports $\frac{KF}{KR}$ et $\frac{KM}{KP}$ sont égaux, les droites (FM) et (RP) sont bien parallèles. La réponse correcte est donc 'Oui'.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Calcul numérique et Substitution

La deuxième question porte sur le calcul numérique et l'évaluation d'une expression littérale. On nous demande de remplacer l'inconnue $x$ par la valeur $-3$ dans l'expression $5 - 2x$. C'est un exercice classique de substitution qui teste votre maîtrise des priorités opératoires et de la règle des signes.

Le raisonnement doit être le suivant : $5 - 2 \times (-3)$. Selon les priorités opératoires, la multiplication prime sur la soustraction. Multiplier deux nombres négatifs entre eux donne un résultat positif, donc $-2 \times (-3) = +6$. L'expression devient alors $5 + 6$, ce qui nous donne $11$. L'erreur fréquente ici est d'oublier de prendre en compte le signe moins devant le 2 ou de mal gérer le signe de la valeur substituée. La réponse B est la seule exacte.

Analyse Méthodique de la Question 3 : Lecture graphique et Image d'une fonction

Ici, nous entrons dans le domaine de l'analyse fonctionnelle. L'exercice propose une courbe représentative d'une fonction $f$ et demande d'identifier l'image de 2 par cette fonction. En mathématiques, l'image d'un nombre se lit sur l'axe des ordonnées (axe vertical, $y$).

Pour trouver $f(2)$, l'élève doit :
1. Repérer le nombre 2 sur l'axe des abscisses (axe horizontal).
2. Monter ou descendre verticalement jusqu'à rencontrer la courbe rouge.
3. Une fois la courbe atteinte, se déplacer horizontalement vers l'axe des ordonnées pour lire la valeur correspondante.
Sur le graphique fourni, on constate que le point de la courbe ayant pour abscisse 2 a pour ordonnée 1. On écrit $f(2) = 1$. L'affirmation correcte est donc la A.

Analyse Méthodique de la Question 4 : Antécédents et Interprétation Graphique

La dernière question prolonge l'analyse graphique en introduisant la notion d'antécédent. Chercher un antécédent de 2 par la fonction $f$ revient à résoudre l'équation $f(x) = 2$ graphiquement. Contrairement à l'image, un nombre peut posséder plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.

La méthode de lecture est inverse à la précédente :
1. On trace une droite horizontale imaginaire (ou au crayon) passant par la graduation 2 sur l'axe des ordonnées.
2. On compte le nombre de points d'intersection entre cette droite et la courbe de la fonction $f$.
En observant attentivement le graphique, la droite horizontale $y = 2$ coupe la courbe à trois reprises (une fois entre 0 et 1, une fois entre 1 et 2, et une troisième fois vers 3,5). Par conséquent, 2 possède bien trois antécédents. La réponse C est validée.

Les Pièges à Éviter au Brevet

Dans un QCM, les distracteurs (mauvaises réponses) sont choisis avec soin. Pour Thalès, le piège est de ne pas vérifier l'ordre des points ou de faire un produit en croix erroné. Pour le calcul numérique, le piège majeur reste la gestion des signes, notamment lors de la multiplication d'entiers relatifs. Enfin, pour les fonctions, l'erreur classique est d'inverser les axes : lire l'image sur l'axe des abscisses ou l'antécédent sur l'axe des ordonnées. Rappelez-vous toujours : x est l'antécédent (horizontal) et f(x) est l'image (vertical).

Conseils de Rédaction pour l'épreuve de Mathématiques

Bien que ce soit un QCM et qu'aucune justification ne soit demandée sur votre copie finale (comme précisé dans l'énoncé), il est crucial de réaliser ces calculs et ces schémas sur votre brouillon. Pour les questions de lecture graphique, n'hésitez pas à tracer les pointillés sur le sujet si celui-ci est fourni en version papier, cela sécurise votre lecture. Pour Thalès, écrivez toujours les rapports sous forme fractionnaire avant de les simplifier ou de passer à l'écriture décimale, cela limite les erreurs de calcul mental.