Introduction aux notions de volumes pour le Brevet
La géométrie dans l'espace est un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Cet exercice, extrait du sujet du Brevet 2014 pour la zone Amérique du Nord, porte spécifiquement sur le calcul de volumes de solides composés. Il met en scène un objet du quotidien : un boudin de protection pour péniche. Pour réussir cet exercice, les élèves doivent mobiliser leurs connaissances sur le cylindre de révolution et la sphère. L'objectif pédagogique est double : savoir extraire des données pertinentes d'un schéma complexe et appliquer des formules de calcul de volume en respectant les consignes de précision (valeur exacte puis arrondie). La maîtrise de ces calculs est essentielle car elle revient quasi systématiquement lors des épreuves finales du Diplôme National du Brevet (DNB).
Analyse de l'énoncé : Identifier les formes géométriques
Face à un solide composite comme celui présenté dans cet exercice, la première étape du raisonnement consiste à décomposer l'objet en formes géométriques usuelles. Le schéma nous montre un boudin constitué d'une partie centrale cylindrique et de deux extrémités arrondies. Ces extrémités sont des demi-boules de même rayon. Ensemble, ces deux demi-boules forment une boule complète. L'énoncé nous donne plusieurs informations cruciales : la longueur de la partie cylindrique est de 50 cm et la distance AC, qui représente le diamètre de la base du cylindre (et donc de la boule), est de 16 cm. Attention, les formules de volume utilisent le rayon R, et non le diamètre. Il faut donc immédiatement noter que R = AC / 2 = 8 cm. Identifier cette nuance est la clé pour ne pas fausser l'intégralité des calculs ultérieurs.
Calcul méthodique du volume du cylindre central
La partie centrale du boudin est un cylindre de révolution. Pour calculer son volume, on utilise la formule rappelée dans l'énoncé : $V = \pi R^2 h$. En remplaçant par les valeurs numériques, nous avons un rayon $R = 8$ cm et une hauteur $h = 50$ cm. Le calcul de l'aire de la base donne $8^2 \times \pi$, soit $64\pi$ cm². Ensuite, en multipliant par la hauteur, on obtient $64\pi \times 50 = 3200\pi$ cm³. Il est préférable de garder la valeur exacte sous forme de multiple de $\pi$ jusqu'à la fin du raisonnement pour éviter les erreurs d'arrondi cumulées. Ce cylindre représente la majeure partie de la protection de l'embarcation, et sa forme permet d'absorber l'énergie lors des chocs contre le quai.
Calcul du volume des extrémités sphériques
Le boudin est terminé par deux calottes qui sont des demi-sphères. Mathématiquement, l'addition de deux demi-sphères de rayon identique équivaut à calculer le volume d'une sphère complète. La formule du volume d'une boule est $V = \frac{4}{3} \pi R^3$. Avec notre rayon $R = 8$ cm, le calcul devient : $V = \frac{4}{3} \pi \times 8^3$. Puisque $8^3 = 512$, on obtient $V = \frac{4 \times 512}{3} \pi$, ce qui nous donne une valeur exacte de $\frac{2048}{3} \pi$ cm³. Ici encore, conserver la fraction avec $\pi$ permet une précision rigoureuse indispensable en mathématiques. Les élèves oublient souvent la puissance 'cube' dans cette formule, il faut donc être très vigilant lors de la rédaction.
Synthèse du volume total et arrondi final
Le volume total du boudin de protection est la somme du volume du cylindre et du volume de la sphère : $V_{total} = 3200\pi + \frac{2048}{3}\pi$. Pour additionner ces termes, on peut réduire au même dénominateur : $3200\pi = \frac{9600}{3}\pi$. Ainsi, $V_{total} = \frac{9600 + 2048}{3}\pi = \frac{11648}{3}\pi$ cm³. C'est la valeur exacte demandée par l'exercice. Pour passer à la valeur arrondie au centième, on utilise la calculatrice avec la touche $\pi$. On obtient environ $12197,579...$, ce qui s'arrondit à $12197,58$ cm³. Cette étape finale de l'arrondi au centième (deux chiffres après la virgule) est souvent discriminante lors de la correction du brevet.
Les pièges classiques à éviter
Plusieurs erreurs récurrentes peuvent coûter des points précieux aux candidats. Tout d'abord, la confusion entre le diamètre et le rayon est l'erreur la plus fréquente : utiliser 16 au lieu de 8 dans les formules conduit à un résultat quatre à huit fois trop grand. Ensuite, l'oubli des unités : un volume s'exprime en cm³ si les longueurs sont en cm. Une autre erreur consiste à arrondir trop tôt dans les étapes intermédiaires, ce qui fausse le résultat final. Enfin, il faut bien lire la consigne concernant l'arrondi (centième vs dixième) et s'assurer que la calculatrice est bien réglée. Un élève qui maîtrise ces points démontre une grande rigueur méthodologique.
Conseils de rédaction pour l'épreuve de mathématiques
Pour obtenir le maximum de points, la rédaction doit être limpide. Commencez par citer la formule utilisée avec les lettres (ex : $V = \pi R^2 h$). Effectuez ensuite l'application numérique de manière isolée pour chaque solide composant l'objet. Présentez clairement l'addition finale. Ne négligez pas la phrase de conclusion qui répond directement à la question posée : 'Le volume exact du boudin est de $\frac{11648}{3}\pi$ cm³, soit environ $12197,58$ cm³ au centième près'. Un correcteur appréciera toujours une copie structurée où les étapes de calcul sont visibles et justifiées par les propriétés géométriques apprises en classe.